решите систему уравнений графически и аналитически: б) {у=х^2+1 {х+2у=5

Задача (б): решить систему графически и аналитически Y = x^2 + 1 x + 2y = 5

Цель: понять, как и где графики пересекаются, и найти точные координаты точек пересечения.

1. Аналитическое решение (пошагово)

• Из второго уравнения выразим y через x: x + 2y = 5 => 2y = 5 - x => y = (5 - x)/2.
• Подставим в первое уравнение y = x^2 + 1: x^2 + 1 = (5 - x)/2.
• Умножим на 2: 2x^2 + 2 = 5 - x.
• Перенесём всё в одну сторону: 2x^2 + x - 3 = 0.
• Решим квадратное уравнение. Дискримант: D = 1 + 24 = 25. x = [-1 ± sqrt(25)] / 4 = (-1 ± 5) / 4. Получаем две корня:
  • x1 = ( -1 + 5 ) / 4 = 4/4 = 1
  • x2 = ( -1 - 5 ) / 4 = -6/4 = -3/2
• Найдём соответствующие y из y = x^2 + 1:
  • Для x1 = 1: y1 = 1^2 + 1 = 2.
  • Для x2 = -3/2: y2 = (-3/2)^2 + 1 = 9/4 + 1 = 13/4.
• Итак, точки пересечения системы: (1, 2) и (-3/2, 13/4).

Проверка:

• Для (1, 2): y = x^2 + 1 = 1 + 1 = 2; x + 2y = 1 + 4 = 5. Всё верно.
• Для (-3/2, 13/4): y = x^2 + 1 = 9/4 + 1 = 13/4; x + 2y = -3/2 + 2*(13/4) = -3/2 + 13/2 = 10/2 = 5. Всё верно.

2. Графическое решение (описание)

• Постройте графики двух функций: • parabola y = x^2 + 1 (вершина в точке (0,1), открыта вверх). • прямая y = (5 - x)/2 (наклон -1/2, пересечение оси y в 2.5).
• Их точки пересечения на графике соответствуют решениям системы. По аналитическому решению пересечения две: близко к x = 1 и x = -1.5.
• Точные координаты точек пересечения: (1, 2) и (-3/2, 13/4).

Итог:

• Аналитически: пересечения в (1, 2) и (-3/2, 13/4).
• Графически: две точки пересечения графиков, которые совпадают с этими координатами при точном построении.