Что дискриминант

Дискриминант — характеристика многочлена или уравнения, связанная с его корнями.

1. Для квадратного уравнения

• Дано ax^2 + bx + c = 0, a ≠ 0.
• Дискриминант D равен D = b^2 − 4ac.
• Интерпретация:
  • D > 0: два различных действительных корня.
  • D = 0: один действительный корень (корень кратности 2).
  • D < 0: два комплексно-сопряжённых корня.

Примеры:

• 2x^2 + 3x − 2 = 0: D = 3^2 − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25 > 0 → корни x = (−3 ± 5)/(4) → x = 0.5 и x = −2.
• x^2 + 2x + 2 = 0: D = 4 − 8 = −4 < 0 → корни −1 ± i.

2. Общий смысл дискриминанта

• Дискриминант любого многочлена (с ведущей степенью n) — выражение Δ, которое равняется нулю, если у многочлена есть кратный корень. Для квадр. случая это просто b^2 − 4ac.
• В общем виде для корней r_i дискриминант Δ = a_n^{2n−2} ∏_{i<j} (r_i − r_j)^2.

Хочешь пример по конкретной формуле дискриминанта для кубического или четверти́чного, или остаться по квадратным уравнениям?