корень из 65

Задача: вычислить корень из 65 (√65).

Ключевые моменты

• 8^2 = 64, 9^2 = 81. Значит, √65 лежит между 8 и 9.
• √65 не является простым рациональным числом (65 не делится на квадрат любого натурального кроме 1), поэтому точное значение записать через простую радикальную форму нельзя; можно дать приближённое десятичное значение.

Способ 1: приближённое значение с помощью метода Ньютона (итерация)

1. Пусть f(x) = x^2 − 65. Корень находится там, где f(x) = 0.
2. Формула Ньютона: x_{n+1} = (x_n + 65/x_n) / 2.
3. Выберем начальное приближение x0 = 8 (оно между 8 и 9).

• x1 = (8 + 65/8) / 2 = (8 + 8.125) / 2 = 8.0625
• x2 = (x1 + 65/x1) / 2. 65/8.0625 ≈ 8.062257, поэтому x2 ≈ (8.0625 + 8.062257) / 2 ≈ 8.0623785
• x3 = (x2 + 65/x2) / 2. 65/8.0623785 ≈ 8.0622577, поэтому x3 ≈ (8.0623785 + 8.0622577) / 2 ≈ 8.0623181 (последующие итерации дают всё более точное значение)

Ближнее стабильное значение после нескольких шагов: √65 ≈ 8.0622577.

Способ 2: быстрая оценка по линейной аппроксимации (первое приближение)

• около 64: √64 = 8. Рассмотрим приращение δ = 1: √(64+1) ≈ √64 + δ/(2√64) = 8 + 1/(2·8) = 8.0625.
• Это приближение даёт 8.0625, что очень близко к истинному значению; реальное значение ≈ 8.062257, разница примерно 0.000243.

Итого

• Точное обозначение: √65 — иррациональное число.
• Десятичное приближение: √65 ≈ 8.062257 (до шести знаков после запятой).
• Нормальная форма: √65.