Корень из 65

Задача: вычислить корень из 65 (√65). Ключевые моменты - 8^2 = 64, 9^2 = 81. Значит, √65 лежит между 8 и 9. - √65 не является простым рациональным числом (65 не делится на квадрат любого натурального кроме 1), поэтому точное значение записать через простую радикальную форму нельзя; можно дать приближённое десятичное значение. Способ 1: приближённое значение с помощью метода Ньютона (итерация) 1) Пусть f(x) = x^2 − 65. Корень находится там, где f(x) = 0. 2) Формула Ньютона: x_{n+1} = (x_n + 65/x_n) / 2. 3) Выберем начальное приближение x0 = 8 (оно между 8 и 9). - x1 = (8 + 65/8) / 2 = (8 + 8.125) / 2 = 8.0625 - x2 = (x1 + 65/x1) / 2. 65/8.0625 ≈ 8.062257, поэтому x2 ≈ (8.0625 + 8.062257) / 2 ≈ 8.0623785 - x3 = (x2 + 65/x2) / 2. 65/8.0623785 ≈ 8.0622577, поэтому x3 ≈ (8.0623785 + 8.0622577) / 2 ≈ 8.0623181 (последующие итерации дают всё более точное значение) Ближнее стабильное значение после нескольких шагов: √65 ≈ 8.0622577. Способ 2: быстрая оценка по линейной аппроксимации (первое приближение) - около 64: √64 = 8. Рассмотрим приращение δ = 1: √(64+1) ≈ √64 + δ/(2√64) = 8 + 1/(2·8) = 8.0625. - Это приближение даёт 8.0625, что очень близко к истинному значению; реальное значение ≈ 8.062257, разница примерно 0.000243. Итого - Точное обозначение: √65 — иррациональное число. - Десятичное приближение: √65 ≈ 8.062257 (до шести знаков после запятой). - Нормальная форма: √65.