Задача: масса 10 кг, тело падает с высоты 20 м с нулевой скоростью, пренебречь сопротивлением воздуха. Найти кинетическую энергию в момент удара и определить точку траектории, где кинетическая энергия в 3 раза больше потенциальной.
Дано:
- масса m = 10 кг
- высота h0 = 20 м
- ускорение свободного падения g ≈ 9.8 м/с²
- начальная скорость v0 = 0
- Кинетическая энергия в момент удара
Потенциальная энергия на высоте h равна U = m g h.
При падении без сопротивления механическая энергия сохраняется: K + U = const = m g h0.
В момент удара (h = 0): U = 0, значит K = m g h0.
Классический расчет:
K = m g h0 = 10 · 9.8 · 20 = 1960 Джouлей (≈ 1.96 кДж).
Также можно проверить через закон сохранения энергии с v:
v² = 2 g h0 = 2 · 9.8 · 20 = 392, тогда K = (1/2) m v² = 0.5 · 10 · 392 = 1960 Дж. Все согласуется.
Ответ: кинетическая энергия в момент удара ≈ 1960 Дж.
- Точка траектории, где K в 3 раза больше U
Обозначим высоту над землёй как h (0 ≤ h ≤ h0). Тогда:
- Потенциальная энергия: U = m g h
- Кинетическая энергия: K = m g (h0 − h) (из сохранения энергии: K + U = m g h0)
Условие: K = 3U.
m g (h0 − h) = 3 m g h
Сокращаем m g (не нуль): h0 − h = 3h ⇒ h0 = 4h ⇒ h = h0/4.
Значит, точка траектории, где K = 3U, находится на высоте h = 20 / 4 = 5 м над землёй.
Проверим значения на этой высоте:
- U = m g h = 10 · 9.8 · 5 = 490 Дж
- K = m g (h0 − h) = 10 · 9.8 · (20 − 5) = 10 · 9.8 · 15 = 1470 Дж
Соотношение: K / U = 1470 / 490 = 3, как и нужно.
Можно дополнительно привести скорость в этой точке:
v² = 2 g (h0 − h) = 2 · 9.8 · 15 = 294 ⇒ v ≈ √294 ≈ 17.15 м/с
Проверка энергии: K = (1/2) m v² = 0.5 · 10 · 294 = 1470 Дж, U = 490 Дж, снова K = 3U.
Ответ:
- Кинетическая энергия в момент удара: примерно 1960 Дж.
- Точка, где K в 3 раза больше U: на высоте 5 м над землёй (h = 5 м). При этом K ≈ 1470 Дж, U ≈ 490 Дж, скорость ≈ 17.2 м/с.
