Стороны угла О пересечены параллельными прямыми AB и CD. Докажите ,что отрезки OA и AC пропорциональны отрезкам OB и BD

Решение (пояснения и пошаговый вывод) Задача: две параллельные прямые AB и CD пересекают стороны угла O. Нужно доказать, что OA:AC = OB:BD. Условимся так: сторонами угла O будут лучи OA и OC. Отрезки AB и CD — параллельны друг другу и пересекают OA в точках A, C соответственно и OC в точках B, D соответственно. Пусть OA = a, AC = c − a (радиусно на оси x), OB = b, BD = d − b (на оси y). Предположим a > 0, b > 0, c > a, d > b. 1) Применим условие параллельности AB ∥ CD. - Пусть O = (0,0). Пусть A = (a,0) на оси x ( OA на оси OA ), C = (c,0) с c > a. Пусть B = (0,b), D = (0,d) на оси y ( OB на оси OC ). - Координатная форма прямых AB и CD: slope AB = (b−0)/(0−a) = −b/a, slope CD = (d−0)/(0−c) = −d/c. - Так как AB ∥ CD, их угловые наклоны равны: −b/a = −d/c. Отсюда ad = bc. 2) Выразим нужные отрезки через координаты: - OA = a, AC = c − a, OB = b, BD = d − b. 3) Используем полученное условие ad = bc. - Выразим d через a, b, c: d = (bc)/a. - Тогда BD = d − b = bc/a − b = b(c/a − 1) = b(c − a)/a. 4) Подставим в отношение OB:BD: - OB/BD = b / [b(c − a)/a] = a/(c − a). 5) Заметим, что OA/AC = a/(c − a). Следовательно, OA/AC = OB/BD. Следовательно, OA:AC = OB:BD, что и требовалось доказать.