стороны угла О пересечены параллельными прямыми AB и CD. Докажите ,что отрезки OA и AC пропорциональны отрезкам OB и BD

Решение (пояснения и пошаговый вывод)

Задача: две параллельные прямые AB и CD пересекают стороны угла O. Нужно доказать, что OA:AC = OB:BD.

Условимся так: сторонами угла O будут лучи OA и OC. Отрезки AB и CD — параллельны друг другу и пересекают OA в точках A, C соответственно и OC в точках B, D соответственно. Пусть OA = a, AC = c − a (радиусно на оси x), OB = b, BD = d − b (на оси y). Предположим a > 0, b > 0, c > a, d > b.

1. Применим условие параллельности AB ∥ CD.

• Пусть O = (0,0). Пусть A = (a,0) на оси x ( OA на оси OA ), C = (c,0) с c > a. Пусть B = (0,b), D = (0,d) на оси y ( OB на оси OC ).
• Координатная форма прямых AB и CD: slope AB = (b−0)/(0−a) = −b/a, slope CD = (d−0)/(0−c) = −d/c.
• Так как AB ∥ CD, их угловые наклоны равны: −b/a = −d/c. Отсюда ad = bc.

2. Выразим нужные отрезки через координаты:

• OA = a, AC = c − a, OB = b, BD = d − b.

3. Используем полученное условие ad = bc.

• Выразим d через a, b, c: d = (bc)/a.
• Тогда BD = d − b = bc/a − b = b(c/a − 1) = b(c − a)/a.

4. Подставим в отношение OB:BD:

• OB/BD = b / [b(c − a)/a] = a/(c − a).

5. Заметим, что OA/AC = a/(c − a). Следовательно, OA/AC = OB/BD.

Следовательно, OA:AC = OB:BD, что и требовалось доказать.