Что такое геометрическая прогрессия?

Задача: понять, что такое геометрическая прогрессия. Краткое определение - Геометрическая прогрессия (ГП) — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на фиксированное число r, которое называют общим отношением (знаменателем) прогрессии. - Обозначения: первый член a1, общий знаменатель r (может быть любым реальным числом). Тогда n-й член равен a_n = a1 · r^(n−1). Основные формулы 1) Нужен ли нам n-й член? - Формула: a_n = a1 · r^(n−1). - Пример: a1 = 3, r = 2 → 3, 6, 12, 24, …; тогда a4 = 3 · 2^(4−1) = 24. 2) Сумма первых n чисел (первые n членов): - Формула: S_n = a1 · (1 − r^n) / (1 − r), если r ≠ 1. - Пример: a1 = 5, r = 2, n = 4 → S_4 = 5 · (1 − 2^4) / (1 − 2) = 5 · (1 − 16) / (−1) = 75. Проверка: 5 + 10 + 20 + 40 = 75. - Особый случай: если r = 1, все члены равны a1, значит S_n = n · a1. 3) Бесконечная сумма (серия бесконечного числа членов): - Если |r| < 1, то сумма бесконечной геометрической прогрессии (S∞) существует и равна S∞ = a1 / (1 − r). - Пример: a1 = 7, r = 1/2 → S∞ = 7 / (1 − 1/2) = 14. 4) Особые случаи - r = 0: последовательность A: a1, 0, 0, 0, …; a_n = 0 для n > 1. - Отрицательный или дробный r: члены чередуются по знаку или уменьшаются по величине, в зависимости от r. Как понять, что перед вами именно геометрическая прогрессия - Соотношение соседних членов должно быть постоянным: a_{n+1} / a_n = r для всех допустимых n (если a_n ≠ 0). - Термины удовлетворяют формуле a_n = a1 · r^(n−1). Похожие по идее, но другое: арифметическая прогрессия - В ГП множитель между соседними членами постоянен (умножение на r). - В АП разность между соседними членами постоянна (сложение на d). Простые примеры для запоминания - Пример 1: a1 = 3, r = 2 → 3, 6, 12, 24, 48, … n-й член: a_n = 3 · 2^(n−1). - Пример 2: a1 = 5, r = 1/2 → 5, 2.5, 1.25, 0.625, … n-й член: a_n = 5 · (1/2)^(n−1). - Пример 3: a1 = 4, r = −3 → 4, −12, 36, −108, … Короткая задача-подсказка - Найдите a5 для a1 = 4, r = 3: a5 = 4 · 3^(5−1) = 4 · 81 = 324. - Найдите S3 для a1 = 2, r = 1/2: S3 = 2 · (1 − (1/2)^3) / (1 − 1/2) = 2 · (1 − 1/8) / (1/2) = 2 · (7/8) / (1/2) = 2 · (7/8) · 2 = 3.5. Проверочные советы - Если вам нужно проверить n-й член, просто применяйте a_n = a1 · r^(n−1). - Чтобы найти сумму первых n членов, используйте S_n = a1 · (1 − r^n) / (1 − r) при r ≠ 1. - Чтобы узнать сумму бесконечной серии, проверьте условие |r| < 1. Если хотите, могу привести дополнительные примеры or помочь решить конкретную задачу по ГП.