√5

Задача: √5

Коротко: √5 — главный квадратный корень из числа 5. Так как 5 не является квадратом целого числа, √5 нельзя записать как точную рациональную дробь; это иррациональное число. Приближённое значение: примерно 2.236067977...

Подробности и решение

1. Где лежит √5

• 2^2 = 4 и 3^2 = 9, значит 4 < 5 < 9.
• Следовательно, 2 < √5 < 3.

2. Иррациональность √5

• Если бы √5 было рациональным, его можно было бы записать как дробь a/b в несократимём виде. Погружение в доказательство (кратко):
  • Предположим, что √5 = a/b, где gcd(a,b)=1.
  • Возводим в квадрат и получаем 5b^2 = a^2, значит a^2 делится на 5, значит 5 делит a, скажем a = 5k.
  • Тогда подстановка gives 5b^2 = 25k^2 → b^2 = 5k^2, следовательно и b делится на 5.
  • Получаем противоречие с тем, что gcd(a,b)=1. Значит √5 рационально не выражается дробью.
• Поэтому √5 является иррациональным числом и не имеет точного конечного десятичного представления.

3. Приближённое десятичное значение

• Можно получить при помощи метода Ньютона (итерационный способ для корней).
• Формула: x_{n+1} = (x_n + 5/x_n) / 2.
• Начнём, например, с x0 = 2:
  • x1 = (2 + 5/2) / 2 = 2.25
  • x2 = (2.25 + 5/2.25) / 2 ≈ 2.236111111
  • x3 ≈ (2.236111111 + 5/2.236111111) / 2 ≈ 2.236067977
• Таким образом, √5 ≈ 2.236067977... (даже на 9–10 знаках после запятой уже совпадает с истинным значением).
• Для практических задач достаточно:
  • до 3 знаков после запятой: ≈ 2.236
  • до 5 знаков после запятой: ≈ 2.23607
  • до 9 знаков после запятой: ≈ 2.236067977

4. Проверка (проверяющий способ)

• Возведём приближённое значение в квадрат:
  • (2.2360679)^2 ≈ 5.000000 (очень близко к 5).
• Это подтверждает, что вычисление близко к истинному значению.

5. Что можно запомнить

• √5 не сокращается: нельзя вынести множитель из-под корня в виде квадрата.
• Вообще для любого непарного простого числа p, √p обычно иррационально.

Итого

• Точное значение: √5 нельзя записать в виде дроби или точной рациональной величины.
• Приближённое десятичное значение: ≈ 2.236067977.
• Практическая запись: √5 ≈ 2.23607 (пятитысячные) или ≈ 2.236 (трёхзначная точность).