√5

Задача: √5 Коротко: √5 — главный квадратный корень из числа 5. Так как 5 не является квадратом целого числа, √5 нельзя записать как точную рациональную дробь; это иррациональное число. Приближённое значение: примерно 2.236067977... Подробности и решение 1) Где лежит √5 - 2^2 = 4 и 3^2 = 9, значит 4 < 5 < 9. - Следовательно, 2 < √5 < 3. 2) Иррациональность √5 - Если бы √5 было рациональным, его можно было бы записать как дробь a/b в несократимём виде. Погружение в доказательство (кратко): - Предположим, что √5 = a/b, где gcd(a,b)=1. - Возводим в квадрат и получаем 5b^2 = a^2, значит a^2 делится на 5, значит 5 делит a, скажем a = 5k. - Тогда подстановка gives 5b^2 = 25k^2 → b^2 = 5k^2, следовательно и b делится на 5. - Получаем противоречие с тем, что gcd(a,b)=1. Значит √5 рационально не выражается дробью. - Поэтому √5 является иррациональным числом и не имеет точного конечного десятичного представления. 3) Приближённое десятичное значение - Можно получить при помощи метода Ньютона (итерационный способ для корней). - Формула: x_{n+1} = (x_n + 5/x_n) / 2. - Начнём, например, с x0 = 2: - x1 = (2 + 5/2) / 2 = 2.25 - x2 = (2.25 + 5/2.25) / 2 ≈ 2.236111111 - x3 ≈ (2.236111111 + 5/2.236111111) / 2 ≈ 2.236067977 - Таким образом, √5 ≈ 2.236067977... (даже на 9–10 знаках после запятой уже совпадает с истинным значением). - Для практических задач достаточно: - до 3 знаков после запятой: ≈ 2.236 - до 5 знаков после запятой: ≈ 2.23607 - до 9 знаков после запятой: ≈ 2.236067977 4) Проверка (проверяющий способ) - Возведём приближённое значение в квадрат: - (2.2360679)^2 ≈ 5.000000 (очень близко к 5). - Это подтверждает, что вычисление близко к истинному значению. 5) Что можно запомнить - √5 не сокращается: нельзя вынести множитель из-под корня в виде квадрата. - Вообще для любого непарного простого числа p, √p обычно иррационально. Итого - Точное значение: √5 нельзя записать в виде дроби или точной рациональной величины. - Приближённое десятичное значение: ≈ 2.236067977. - Практическая запись: √5 ≈ 2.23607 (пятитысячные) или ≈ 2.236 (трёхзначная точность).