Сколько будет косинус умножить на синус в квадраье

Задача: упростить выражение cos x · sin^2 x (то есть косинус умножить на синус в квадрате).

Пошаговое решение (для 9 класса):

1. Используем тождество sin^2 x = (1 − cos 2x)/2. cos x · sin^2 x = cos x · (1 − cos 2x)/2 = (1/2) cos x − (1/2) cos x cos 2x.

2. Применяем формулу преобразования произведения косинусов: cos x cos 2x = (1/2)[cos(x − 2x) + cos(x + 2x)] = (1/2)(cos x + cos 3x).

3. Подставляем это в выражение: (1/2) cos x − (1/2) · (1/2)(cos x + cos 3x) = (1/2) cos x − (1/4) cos x − (1/4) cos 3x = (1/4)(cos x − cos 3x).

4. Приводим разность косинусов к удобной форме: cos x − cos 3x = −2 sin((x+3x)/2) sin((x−3x)/2) = −2 sin(2x) sin(−x) = 2 sin 2x sin x. Значит, (1/4)(cos x − cos 3x) = (1/4) · 2 sin 2x sin x = (1/2) sin 2x sin x.

5. Можно оставить в виде (1/2) sin 2x sin x, или вернуться к исходному виду: sin 2x = 2 sin x cos x → (1/2) sin 2x sin x = sin^2 x cos x.

Итого, эквивалентные формы для cos x · sin^2 x:

• cos x · sin^2 x (исходное)
• (1/4)(cos x − cos 3x)
• (1/2) sin 2x · sin x
• sin^2 x · cos x (тот же самый вид, просто перестановка)

Пример проверки (наугадный числовой): Пусть x = 30° (π/6). Тогда sin x = 1/2, sin^2 x = 1/4, cos x = √3/2. Левое: cos x · sin^2 x = (√3/2) · (1/4) = √3/8 ≈ 0.2165. Право: (1/4)(cos x − cos 3x) = (1/4)(√3/2 − cos π/2) = (1/4)(0.8660 − 0) ≈ 0.2165. Или (1/2) sin 2x sin x: sin 2x = sin 60° = √3/2, так что (1/2)·(√3/2)·(1/2) = √3/8 ≈ 0.2165. Совпадает.

Ответ зависит от x, поэтому число фиксированное не дастся без значения x. Если нужно, могу привести конкретное числовое значение при заданном x.