(х-2)(х-3)(х-4)(х-5)=х⁴-1

Задача: (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) = x^4 - 1

Пошаговое решение с пояснениями

1. Заметим симметрию слева.
   Пусть a = x^2 - 7x + 11. Тогда:

• (x-2)(x-5) = x^2 - 7x + 10 = a - 1
• (x-3)(x-4) = x^2 - 7x + 12 = a + 1

Тогда левая часть равна (a - 1)(a + 1) = a^2 - 1.

2. Подставим a = x^2 - 7x + 11 в уравнение: (a^2 - 1) = x^4 - 1.

3. Перенесем -1 на правую сторону и сократим: (a^2 - 1) = x^4 - 1 ⇒ a^2 = x^4.

Таким образом: (x^2 - 7x + 11)^2 = x^4.

4. Отсюда возьмем квадратный корень. Это дает два случая: -Case 1:* x^2 - 7x + 11 = x^2.
   После сокращения получаем -7x + 11 = 0 → x = 11/7.

-Case 2:* x^2 - 7x + 11 = -x^2.
Перепишем: 2x^2 - 7x + 11 = 0.
Дискриминант Δ = (-7)^2 - 4·2·11 = 49 - 88 = -39 < 0, значит корни комплексные: x = (7 ± i√39) / 4.

5. Итог:

• Реальное решение: x = 11/7.
• Комплексные решения: x = (7 ± i√39)/4.

Проверка для реального корня (по сути следует из шагов выше): Если x = 11/7, то (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) = [(x^2 - 7x + 11) - 1][(x^2 - 7x + 11) + 1] = (x^2 - 7x + 11)^2 - 1, а x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1. При x = 11/7 выполняется (x^2 - 7x + 11)^2 = x^4, следовательно обе стороны равны.

Ответ: x = 11/7 (и дополнительные комплексные корни x = (7 ± i√39)/4).