(х-2)(х-3)(х-4)(х-5)=х⁴-1

Задача: (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) = x^4 - 1 Пошаговое решение с пояснениями 1) Заметим симметрию слева. Пусть a = x^2 - 7x + 11. Тогда: - (x-2)(x-5) = x^2 - 7x + 10 = a - 1 - (x-3)(x-4) = x^2 - 7x + 12 = a + 1 Тогда левая часть равна (a - 1)(a + 1) = a^2 - 1. 2) Подставим a = x^2 - 7x + 11 в уравнение: (a^2 - 1) = x^4 - 1. 3) Перенесем -1 на правую сторону и сократим: (a^2 - 1) = x^4 - 1 ⇒ a^2 = x^4. Таким образом: (x^2 - 7x + 11)^2 = x^4. 4) Отсюда возьмем квадратный корень. Это дает два случая: -Case 1:* x^2 - 7x + 11 = x^2. После сокращения получаем -7x + 11 = 0 → x = 11/7. -Case 2:* x^2 - 7x + 11 = -x^2. Перепишем: 2x^2 - 7x + 11 = 0. Дискриминант Δ = (-7)^2 - 4·2·11 = 49 - 88 = -39 < 0, значит корни комплексные: x = (7 ± i√39) / 4. 5) Итог: - Реальное решение: x = 11/7. - Комплексные решения: x = (7 ± i√39)/4. Проверка для реального корня (по сути следует из шагов выше): Если x = 11/7, то (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) = [(x^2 - 7x + 11) - 1][(x^2 - 7x + 11) + 1] = (x^2 - 7x + 11)^2 - 1, а x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1. При x = 11/7 выполняется (x^2 - 7x + 11)^2 = x^4, следовательно обе стороны равны. Ответ: x = 11/7 (и дополнительные комплексные корни x = (7 ± i√39)/4).