Алмас дүкеннен бағасы 15 теңелік қаламдар мен бағасы 40 теңелік бірнеше дәптер алып, барлығына 270тг төледі. Алмас дүкеннен неше қалам және неше дәптер сатып алды? Есептің әртүрлі…

Мәселе: Алмас 15 теңгелік қаламдар мен 40 теңгелік дәптерлер сатып алып, барлығы 270 теңге төлеген. Қалам саны x, дәптер саны y болсын. Есептің түрлі шешімдерін табыңдар (ең кемінде бір дәптер болса).

Шешу 1. Қарапайым теңдеумен жұмыс істеу (мұнда x – қалам саны, y – дәптер саны)

• Теңдеу: 15x + 40y = 270.
• Барлық мәндерді 5-ке бөлеміз: 3x + 8y = 54.
• Модульдік әдіспен шешейік: 3x ≡ 54 (mod 8) → 3x ≡ 6 (mod 8). ҚұрамышInverse modulo 8: 3-тің кері саны 3, себебі 3·3 = 9 ≡ 1 (mod 8). Сондықтан x ≡ 6·3 ≡ 18 ≡ 2 (mod 8). Яғни x = 2 + 8t, мұнда t –整 integer.
• Оны теңдейге қойсақ: 3(2 + 8t) + 8y = 54 → 6 + 24t + 8y = 54 → 8y = 48 − 24t → y = 6 − 3t.
• Екі шарттан шығамыз: x ≥ 0 және y ≥ 0.
  • x = 2 + 8t ≥ 0 −> t ≥ −1/4 ⇒ t ≥ 0 (ақшада қалам саны санға байланысты, тікелей оң сандап алғанда).
  • y = 6 − 3t ≥ 0 ⇒ t ≤ 2. Сондықтан t ∈ {0, 1, 2}.
• Шарт бойынша тексеру:
  • t = 0: (x, y) = (2, 6) → 2 қалам, 6 дәптер.
  • t = 1: (x, y) = (10, 3) → 10 қалам, 3 дәптер.
  • t = 2: (x, y) = (18, 0) → дәптер жоқ (бұл жағдайда «несколько дәптер» шарты орындалмайды).

Ескертпе: егер дәптер саны 0 болуы рұқсат болса, үшінші шешім де болады: 18 қалам және 0 дәптер.

Шешу 2. Тігіндік жолмен (екінші тәсіл)

• Бастапқы теңдеу: 3x + 8y = 54.
• x модуль 8-ге қатысты қарастырайық: 3x ≡ 54 (mod 8) → 3x ≡ 6 (mod 8) → x ≡ 2 (mod 8) (алдыңғы секілді). Сондықтан x = 2 + 8t.
• Оны орнына қойсақ: 3(2 + 8t) + 8y = 54 → 6 + 24t + 8y = 54 → 8y = 48 − 24t → y = 6 − 3t.
• Екі теңдікке сәйкес t-ті оң бүтін сан ретінде қарасақ, t ∈ {0, 1, 2}. Дәптер санының оң болуы үшін t ≠ 2 (өйткені y = 0).
• Нәтиже:
  • t = 0 → (x, y) = (2, 6) → 2 қалам, 6 дәптер.
  • t = 1 → (x, y) = (10, 3) → 10 қалам, 3 дәптер.

Шешу 3. Бірінші жолдың түзу жолы (тырмау арқылы үдеріс)

• Деңгей бойынша 3х + 8у = 54-ке қарай отырып, жұп сандардың әр баламасын тексерейік: дәптер саны y бірден 1-ден бастап өсіріп есептейік.
• y = 1 болса: 3x + 8 = 54 → 3x = 46 — дұрыс емес;
• y = 2 болса: 3x + 16 = 54 → 3x = 38 — дұрыс емес;
• y = 3 болса: 3x + 24 = 54 → 3x = 30 → x = 10 → шешім: (10, 3);
• y = 4 болса: 3x + 32 = 54 → 3x = 22 — дұрыс емес;
• y = 5 болса: 3x + 40 = 54 → 3x = 14 — дұрыс емес;
• y = 6 болса: 3x + 48 = 54 → 3x = 6 → x = 2 → шешім: (2, 6);
• Жә, жоғарыдан екі шешім шықты: (10, 3) және (2, 6). Дәптер саны 0 болатын жолды ескеріп көрмегенде де дәл осы екі шешім қалады.

Қорытынды жауаптар

• 2 қалам және 6 дәптер.
• 10 қалам және 3 дәптер. Егер дәптер саны рұқсат етілсе, қосымша шешім де бар: 18 қалам және 0 дәптер.

Екі жолды көрсеткен себебім:

• Бірдей шыққан нәтижелер әртүрлі тәсілдермен түсіндірілген.
• Мысалдар санының көп болуы оқуға көмектеседі және әр жолдың логикалық негізін көрсетеді.