Алмас дүкеннен бағасы 15 теңелік қаламдар мен бағасы 40 теңелік бірнеше дәптер алып, барлығына 270тг төледі. Алмас дүкеннен неше қалам және неше дәптер сатып алды? Есептің әртүрлі шешімін табыңдар.
жауабы мен тура осындай қылып сәл басқаша қылып шығарып берші жауабымен
Мәселе:
Алмас 15 теңгелік қаламдар мен 40 теңгелік дәптерлер сатып алып, барлығы 270 теңге төлеген. Қалам саны x, дәптер саны y болсын. Есептің түрлі шешімдерін табыңдар (ең кемінде бір дәптер болса).
Шешу 1. Қарапайым теңдеумен жұмыс істеу (мұнда x – қалам саны, y – дәптер саны)
- Теңдеу: 15x + 40y = 270.
- Барлық мәндерді 5-ке бөлеміз: 3x + 8y = 54.
- Модульдік әдіспен шешейік: 3x ≡ 54 (mod 8) → 3x ≡ 6 (mod 8).
ҚұрамышInverse modulo 8: 3-тің кері саны 3, себебі 3·3 = 9 ≡ 1 (mod 8). Сондықтан x ≡ 6·3 ≡ 18 ≡ 2 (mod 8). Яғни x = 2 + 8t, мұнда t –整 integer.
- Оны теңдейге қойсақ: 3(2 + 8t) + 8y = 54 → 6 + 24t + 8y = 54 → 8y = 48 − 24t → y = 6 − 3t.
- Екі шарттан шығамыз: x ≥ 0 және y ≥ 0.
- x = 2 + 8t ≥ 0 −> t ≥ −1/4 ⇒ t ≥ 0 (ақшада қалам саны санға байланысты, тікелей оң сандап алғанда).
- y = 6 − 3t ≥ 0 ⇒ t ≤ 2.
Сондықтан t ∈ {0, 1, 2}.
- Шарт бойынша тексеру:
- t = 0: (x, y) = (2, 6) → 2 қалам, 6 дәптер.
- t = 1: (x, y) = (10, 3) → 10 қалам, 3 дәптер.
- t = 2: (x, y) = (18, 0) → дәптер жоқ (бұл жағдайда «несколько дәптер» шарты орындалмайды).
Ескертпе: егер дәптер саны 0 болуы рұқсат болса, үшінші шешім де болады: 18 қалам және 0 дәптер.
Шешу 2. Тігіндік жолмен (екінші тәсіл)
- Бастапқы теңдеу: 3x + 8y = 54.
- x модуль 8-ге қатысты қарастырайық: 3x ≡ 54 (mod 8) → 3x ≡ 6 (mod 8) → x ≡ 2 (mod 8) (алдыңғы секілді). Сондықтан x = 2 + 8t.
- Оны орнына қойсақ: 3(2 + 8t) + 8y = 54 → 6 + 24t + 8y = 54 → 8y = 48 − 24t → y = 6 − 3t.
- Екі теңдікке сәйкес t-ті оң бүтін сан ретінде қарасақ, t ∈ {0, 1, 2}. Дәптер санының оң болуы үшін t ≠ 2 (өйткені y = 0).
- Нәтиже:
- t = 0 → (x, y) = (2, 6) → 2 қалам, 6 дәптер.
- t = 1 → (x, y) = (10, 3) → 10 қалам, 3 дәптер.
Шешу 3. Бірінші жолдың түзу жолы (тырмау арқылы үдеріс)
- Деңгей бойынша 3х + 8у = 54-ке қарай отырып, жұп сандардың әр баламасын тексерейік: дәптер саны y бірден 1-ден бастап өсіріп есептейік.
- y = 1 болса: 3x + 8 = 54 → 3x = 46 — дұрыс емес;
- y = 2 болса: 3x + 16 = 54 → 3x = 38 — дұрыс емес;
- y = 3 болса: 3x + 24 = 54 → 3x = 30 → x = 10 → шешім: (10, 3);
- y = 4 болса: 3x + 32 = 54 → 3x = 22 — дұрыс емес;
- y = 5 болса: 3x + 40 = 54 → 3x = 14 — дұрыс емес;
- y = 6 болса: 3x + 48 = 54 → 3x = 6 → x = 2 → шешім: (2, 6);
- Жә, жоғарыдан екі шешім шықты: (10, 3) және (2, 6). Дәптер саны 0 болатын жолды ескеріп көрмегенде де дәл осы екі шешім қалады.
Қорытынды жауаптар
- 2 қалам және 6 дәптер.
- 10 қалам және 3 дәптер.
Егер дәптер саны рұқсат етілсе, қосымша шешім де бар: 18 қалам және 0 дәптер.
Екі жолды көрсеткен себебім:
- Бірдей шыққан нәтижелер әртүрлі тәсілдермен түсіндірілген.
- Мысалдар санының көп болуы оқуға көмектеседі және әр жолдың логикалық негізін көрсетеді.
