Алмас дүкеннен бағасы 15 теңілік қаламдар мен бағасы 40 теңелік бірнеше дәптер алып, барлығына 270тг алды. Алмас дүкеннен неше қалам және неше дәптер сатып алды? Есептің әртүрлі шешімін табыңдар.

Бұл есептің мақсаты — берілген шарттан қаламдар мен дәптерлердің санын табу. Қаламның бағасы 15 теңге, дәптердің бағасы 40 теңге, барлығы 270 теңге. Қалам саны x, дәптер саны y деп алайық. Сонда теңдеу: 15x + 40y = 270, x ≥ 0, y ≥ 0 және бүтін сандар. Шешім 1. Қадамды теңдеу арқылы жалпы шешім табу - Теңдеуді 5-ке бөлейік: 3x + 8y = 54. - x-ті бір айнымалы ретінде көрейік: 3x = 54 − 8y → x = (54 − 8y)/3. - 54 − 8y саны 3-ке бөлуі керек, сондықтан 54 − 8y ≡ 0 (mod 3). 8y ≡ 54 (mod 3) дегенді шешеміз: 8 ≡ 2, 54 ≡ 0 (mod 3) болғандықтан 2y ≡ 0 (mod 3) → y ≡ 0 (mod 3). Демек, y = 3k, k — бүтін сан. - Сонда x = (54 − 8·3k)/3 = (54 − 24k)/3 = 18 − 8k. - Шарт бойынша x ≥ 0 болуы керек. 18 − 8k ≥ 0 → k ≤ 2.5 → k ∈ {0, 1, 2}. Сонда шешімдер: - k = 0: x = 18, y = 0 → 18 қалам, 0 дәптер. - k = 1: x = 10, y = 3 → 10 қалам, 3 дәптер. - k = 2: x = 2, y = 6 → 2 қалам, 6 дәптер. Шешім 2. Модульдік әдіс арқылы - 40y = 270 − 15x → y = (270 − 15x)/40. integer болу үшін 270 − 15x бүтін саны 40-қа бөлінуі керек. - 270 ≡ 30 (mod 40), сондықтан 270 − 15x ≡ 0 (mod 40) → 15x ≡ 30 (mod 40). - Есепті жайлату: бөліктер 5-ке бөлінеді, 3x ≡ 6 (mod 8). 3-тің модуль 8-індегі инверсітісі 3 болғандықтан x ≡ 6·3 ≡ 18 ≡ 2 (mod 8). - Сондықтан x = 2 + 8t. Енді y-ті формуладан табамыз: y = (270 − 15x)/40. - x = 2 → y = (270 − 30)/40 = 240/40 = 6 → (x, y) = (2, 6). - x = 10 → y = (270 − 150)/40 = 120/40 = 3 → (10, 3). - x = 18 → y = (270 − 270)/40 = 0 → (18, 0). - Бұл да үш шешім береді: (18,0), (10,3), (2,6). Шешім 3. Перебір жолымен (яғни тікелей қарап шығу) - 40y ≤ 270 болатынын білеміз, y ≤ 6. - Әр y үшін x = (270 − 40y)/15 санын есептейміз және бүтін сан болып табылса қабылдаймыз: - y = 0 → x = 270/15 = 18 → шешім: (18, 0) - y = 1 → (270 − 40)/15 = 230/15 — бүтін емес => жоқ - y = 2 → (270 − 80)/15 = 190/15 — бүтін емес => жоқ - y = 3 → (270 − 120)/15 = 150/15 = 10 → шешім: (10, 3) - y = 4 → (270 − 160)/15 = 110/15 — бүтін емес => жоқ - y = 5 → (270 − 200)/15 = 70/15 — бүтін емес => жоқ - y = 6 → (270 − 240)/15 = 30/15 = 2 → шешім: (2, 6) - Тағы да үш шешім: (18,0), (10,3), (2,6). Қорытынды Алмас дүкенінен сатып алған қаламдар саны x және дәптерлер саны y келесі үш бүтін мұмкін мәндерінен біреуі болуы мүмкін: - Қаламдар 18, дәптерлер 0 - Қаламдар 10, дәптерлер 3 - Қаламдар 2, дәптерлер 6 Барлық үш шешім де дұрыс және жалпы шартқа сай келеді: 15x + 40y = 270. Егер қосымша түсіндіру керек болса немесе басқа әдіспен шешім көрсетуді қаласаңыз, айтыңыз.