Алмас дүкеннен бағасы 15 теңілік қаламдар мен бағасы 40 теңелік бірнеше дәптер алып, барлығына 270тг алды. Алмас дүкеннен неше қалам және неше дәптер сатып алды? Есептің әртүрлі…

Бұл есептің мақсаты — берілген шарттан қаламдар мен дәптерлердің санын табу. Қаламның бағасы 15 теңге, дәптердің бағасы 40 теңге, барлығы 270 теңге. Қалам саны x, дәптер саны y деп алайық. Сонда теңдеу:

15x + 40y = 270, x ≥ 0, y ≥ 0 және бүтін сандар.

Шешім 1. Қадамды теңдеу арқылы жалпы шешім табу

• Теңдеуді 5-ке бөлейік: 3x + 8y = 54.
• x-ті бір айнымалы ретінде көрейік: 3x = 54 − 8y → x = (54 − 8y)/3.
• 54 − 8y саны 3-ке бөлуі керек, сондықтан 54 − 8y ≡ 0 (mod 3). 8y ≡ 54 (mod 3) дегенді шешеміз: 8 ≡ 2, 54 ≡ 0 (mod 3) болғандықтан 2y ≡ 0 (mod 3) → y ≡ 0 (mod 3). Демек, y = 3k, k — бүтін сан.
• Сонда x = (54 − 8·3k)/3 = (54 − 24k)/3 = 18 − 8k.
• Шарт бойынша x ≥ 0 болуы керек. 18 − 8k ≥ 0 → k ≤ 2.5 → k ∈ {0, 1, 2}. Сонда шешімдер:
  • k = 0: x = 18, y = 0 → 18 қалам, 0 дәптер.
  • k = 1: x = 10, y = 3 → 10 қалам, 3 дәптер.
  • k = 2: x = 2, y = 6 → 2 қалам, 6 дәптер.

Шешім 2. Модульдік әдіс арқылы

• 40y = 270 − 15x → y = (270 − 15x)/40. integer болу үшін 270 − 15x бүтін саны 40-қа бөлінуі керек.
• 270 ≡ 30 (mod 40), сондықтан 270 − 15x ≡ 0 (mod 40) → 15x ≡ 30 (mod 40).
• Есепті жайлату: бөліктер 5-ке бөлінеді, 3x ≡ 6 (mod 8). 3-тің модуль 8-індегі инверсітісі 3 болғандықтан x ≡ 6·3 ≡ 18 ≡ 2 (mod 8).
• Сондықтан x = 2 + 8t. Енді y-ті формуладан табамыз: y = (270 − 15x)/40.
  • x = 2 → y = (270 − 30)/40 = 240/40 = 6 → (x, y) = (2, 6).
  • x = 10 → y = (270 − 150)/40 = 120/40 = 3 → (10, 3).
  • x = 18 → y = (270 − 270)/40 = 0 → (18, 0).
• Бұл да үш шешім береді: (18,0), (10,3), (2,6).

Шешім 3. Перебір жолымен (яғни тікелей қарап шығу)

• 40y ≤ 270 болатынын білеміз, y ≤ 6.
• Әр y үшін x = (270 − 40y)/15 санын есептейміз және бүтін сан болып табылса қабылдаймыз:
  • y = 0 → x = 270/15 = 18 → шешім: (18, 0)
  • y = 1 → (270 − 40)/15 = 230/15 — бүтін емес => жоқ
  • y = 2 → (270 − 80)/15 = 190/15 — бүтін емес => жоқ
  • y = 3 → (270 − 120)/15 = 150/15 = 10 → шешім: (10, 3)
  • y = 4 → (270 − 160)/15 = 110/15 — бүтін емес => жоқ
  • y = 5 → (270 − 200)/15 = 70/15 — бүтін емес => жоқ
  • y = 6 → (270 − 240)/15 = 30/15 = 2 → шешім: (2, 6)
• Тағы да үш шешім: (18,0), (10,3), (2,6).

Қорытынды Алмас дүкенінен сатып алған қаламдар саны x және дәптерлер саны y келесі үш бүтін мұмкін мәндерінен біреуі болуы мүмкін:

• Қаламдар 18, дәптерлер 0
• Қаламдар 10, дәптерлер 3
• Қаламдар 2, дәптерлер 6

Барлық үш шешім де дұрыс және жалпы шартқа сай келеді: 15x + 40y = 270. Егер қосымша түсіндіру керек болса немесе басқа әдіспен шешім көрсетуді қаласаңыз, айтыңыз.