43.3. Напишите уравнение касательной к графику функции y - f(x) в точках его пересечения с осью абсцисс: 1) f(x) = 4 - x ^ 2 2) f(x) = x ^ 2 - 9 3) f(x) = 4x - x ^ 2 4) f(x) = 4x…

Краткое пояснение: касательной к графику y = f(x) в точке x0, где f(x0) = 0 (то есть в точке пересечения графика с осью абсцисс), является прямая с углом наклона m = f'(x0) и проходящая через точку (x0, 0). Уравнение касательной: y = f'(x0) (x − x0).

1. f(x) = 4 − x^2

• Корни: 4 − x^2 = 0 → x^2 = 4 → x0 = −2, 2
• Производная: f'(x) = −2x
• При x0 = 2: m = f'(2) = −4 → y = −4(x − 2) = −4x + 8
• При x0 = −2: m = f'(−2) = 4 → y = 4(x + 2) = 4x + 8 Итак, касательные: y = −4x + 8 и y = 4x + 8.

2. f(x) = x^2 − 9

• Корни: x^2 − 9 = 0 → x0 = −3, 3
• Производная: f'(x) = 2x
• При x0 = 3: m = f'(3) = 6 → y = 6(x − 3) = 6x − 18
• При x0 = −3: m = f'(−3) = −6 → y = −6(x + 3) = −6x − 18 Итак, касательные: y = 6x − 18 и y = −6x − 18.

3. f(x) = 4x − x^2

• Корни: 4x − x^2 = x(4 − x) = 0 → x0 = 0, 4
• Производная: f'(x) = 4 − 2x
• При x0 = 0: m = f'(0) = 4 → y = 4(x − 0) = 4x
• При x0 = 4: m = f'(4) = 4 − 8 = −4 → y = −4(x − 4) = −4x + 16 Итак, касательные: y = 4x и y = −4x + 16.

4. f(x) = 4x − x^2 − 3

• Приведём к виду −x^2 + 4x − 3. Корни: −x^2 + 4x − 3 = 0 → x^2 − 4x + 3 = 0 → x0 = 1, 3
• Производная: f'(x) = −2x + 4
• При x0 = 1: m = f'(1) = −2 + 4 = 2 → y = 2(x − 1) = 2x − 2
• При x0 = 3: m = f'(3) = −6 + 4 = −2 → y = −2(x − 3) = −2x + 6 Итак, касательные: y = 2x − 2 и y = −2x + 6.