Цель: Понять. Ниже подробное решение с объяснениями.
1) Биномиальная теорема. Для любого a и b и натурального n выполняется
(a + b)^n = sum_{k=0}^n C(n, k) a^{n-k} b^k,
где C(n, k) — биномиальные коэффициенты (числа из треугольника Паскаля).
2) Применим для n = 5. Нужно получить коэффициенты C(5, k) при k = 0,1,2,3,4,5.
Коэффициенты C(5, k) в порядке k = 0..5:
C(5,0) = 1
C(5,1) = 5
C(5,2) = 10
C(5,3) = 10
C(5,4) = 5
C(5,5) = 1
Их можно увидеть и из треугольника Паскаля (ряд n = 5): 1, 5, 10, 10, 5, 1.
3) Запишем разложение, подставив формулу a^{n-k} b^k:
(a + b)^5 = C(5,0) a^5 b^0 + C(5,1) a^4 b^1 + C(5,2) a^3 b^2
+ C(5,3) a^2 b^3 + C(5,4) a^1 b^4 + C(5,5) a^0 b^5
Подставляем коэффициенты:
(a + b)^5 = a^5 + 5 a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5.
4) Проверка наглядным способом (можно проверить численно). Пусть a = b = 1:
(1 + 1)^5 = 2^5 = 32,
а сумма коэффициентов: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32. Совпадает.
5) Итог. Раскладывающееся выражение:
(a + b)^5 = a^5 + 5 a^4 b + 10 a^3 b^2 + 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 + b^5.
Это стандартное разложение по биномиальной теореме для степени 5.
