y=x²

Разбор задачи: y = x^2

Это простая квадратичная функция. Ниже пошагово разберём её свойства и как работать с ней.

1. Что это за функция

• Функция вида y = a x^2 + b x + c, здесь a = 1, b = 0, c = 0.
• График – парабола, открывается вверх (потому что a > 0).

2. Основные характеристики

• Область определения: все вещественные числа (x ∈ R).
• Нахождение вершины и оси симметрии:
  • Формула вершины для общей квадратичной функции: x-координата вершины h = -b/(2a). Тут h = -0/(2·1) = 0.
  • y-координата вершины k = f(h) = f(0) = 0.
  • Значит вершина параболы: (0, 0).
  • Ось симметрии: x = h = 0 (ось Y).
• Пересечения с осями:
  • С осью Y: при x = 0 получаем y = 0, точка (0, 0).
  • С осью X: при y = 0 получаем x^2 = 0 ⇒ x = 0. Точка пересечения только одна: (0, 0).
• Диапазон значений (область значений): y ≥ 0 (поскольку квадрат любого числа неотрицателен).
• Монотонность:
  • Поскольку парабола открывается вверх, функция убывает на (-∞, 0], достигает минимального значения в вершине, а затем возрастает на [0, ∞).
• Виды роста/падения:
  • Наклон касательной в любой точке x равен производной dy/dx = 2x.
  • В точке x = 0 касательная горизонтальна (наклон 0).

3. Как строить график

• Можно взять несколько контрольных значений:
  • x = -2 → y = 4
  • x = -1 → y = 1
  • x = 0 → y = 0
  • x = 1 → y = 1
  • x = 2 → y = 4
• Соединяем точки плавной линией: получаем симметричную параболу с вершиной в (0,0).

4. Примеры задач и решения

• Пример 1: Найдите y при заданном x.
  • Пусть x = 3. Тогда y = 3^2 = 9.
• Пример 2: Найдите x при заданном y.
  • Пусть y = 4. Тогда x^2 = 4 ⇒ x = ±2.
• Пример 3: Найдите точку на графике при x = -1.
  • y = (-1)^2 = 1 ⇒ точка (-1, 1).
• Пример 4: Определите диапазон значений.
  • Так как y = x^2, минимальное значение y равно 0 достигается в x = 0. Следовательно, y ∈ [0, +∞).

5. Как видоизменить форму или сравнить с другими параболами

• Общий вид y = a x^2 + b x + c:
  • если a > 0, парабола открывается вверх (как у y = x^2);
  • если a < 0, парабола открывается вниз;
  • вершина сдвигается в зависимости от b и c;
  • можно привести к вершины: y = a (x - h)^2 + k, где h = -b/(2a), k = f(h).
• Для y = x^2 конкретно b = 0, c = 0, поэтому вершина в начале координат, график симметричен относительно оси y и не смещён по оси x.

6. Краткие выводы

• y = x^2 задаёт parabola вверх с вершиной в (0,0).
• Область определения: все действительные x; диапазон y: от 0 до бесконечности.
• Значение y можно получить как квадрат любого числа; для поиска x по заданному y нужно взять квадратный корень: x = ±√y (y ≥ 0).

Если нужно, могу привести дополнительные примеры или показать, как преобразовывать y = x^2 в другие формы (например, в виде y = a(x - h)^2 + k) и как это влияет на график.