Определить погрешность косвенных измерений

Ниже даю подробный пошаговый алгоритм определения погрешности косвенных измерений и несколько простых примеров. Это подходит для школьного уровня и может применяться к любой задаче на измерения с последующим вычислением величины через несколько измеренных значений. 1) Идея и что требуется - Косвенное измерение: вы не измеряете напрямую искомую величину z, а получаете её как функцию f от нескольких измеряемых величин x1, x2, ..., xn. - Каждая xi имеет свою погрешность Δxi (обычно абсолютная). - Нужно найти погрешность Δz в результате вычисления z = f(x1, x2, ..., xn). 2) Основной метод: приближённая погрешность через частные производные (метод линейного приближения) - Предположим, погрешности малы и погрешности xi не сильно скоррелированы (независимы). - Тогда по первому порядку разложения вблизи измерённых значений: Δz ≈ sqrt( (∂f/∂x1 · Δx1)^2 + (∂f/∂x2 · Δx2)^2 + ... + (∂f/∂xn · Δxn)^2 ). - Это стандартное выражение для распространения ошибок (правило Гаусса). - Приведём примеры того, как применять формулу на практике. 3) Конкретные случаи и правила A. Сумма и разность: z = x ± y - ∂z/∂x = 1, ∂z/∂y = ±1 - Δz = sqrt( (Δx)^2 + (Δy)^2 ) - Пример: если x = 5.00 ± 0.02 и y = 3.00 ± 0.03, то z = 2.00 ± sqrt(0.02^2 + 0.03^2) ≈ 2.00 ± 0.036. B. Произведение и деление: z = (x^a)(y^b)... (или z = x^α y^β / ... ) - Относительная погрешность: Δz/z ≈ sqrt( (a Δx/x)^2 + (b Δy/y)^2 + ... ) - Пример: z = x y, где Δx/x = 0.01 и Δy/y = 0.02. Тогда Δz/z ≈ sqrt(0.01^2 + 0.02^2) ≈ 0.0224, то есть Δz ≈ 0.0224 z. C. Часто встречающиеся функции: - z = (x + y)/2: Δz = (1/2) sqrt( (Δx)^2 + (Δy)^2 ). - z = x / y: относительная погрешность: Δz/z ≈ sqrt( (Δx/x)^2 + (Δy/y)^2 ). - z = x^n: относительная погрешность: Δz/z ≈ |n| (Δx/x). D. Функции с двумя переменными: z = sqrt(x^2 + y^2) - z = √(x^2 + y^2) - ∂z/∂x = x / √(x^2 + y^2) = x/z, ∂z/∂y = y/z - Δz ≈ sqrt( ( (x/z) Δx )^2 + ( (y/z) Δy )^2 ) E. Обобщённо: z = f(x1, x2, ..., xn) - Вычислите частные производные ∂f/∂xi. - Затем Δz ≈ sqrt( Σi ( ∂f/∂xi · Δxi )^2 ). 4) Как работать на практике (пошагово) - Шаг 1: Запишите измеряемые величины x1, x2, ..., xn и их абсолютные погрешности Δx1, Δx2, ..., Δxn. - Шаг 2: Запишите искомую величину z как функцию f(x1, x2, ..., xn). - Шаг 3: Найдите частные производные ∂f/∂xi по каждой переменной. - Шаг 4: Подставьте значения ∂f/∂xi и Δxi в формулу Δz ≈ sqrt( Σ (∂f/∂xi · Δxi)^2 ). - Шаг 5: Представьте ответ как z ± Δz. Укажите единицы измерения. - Примечание: если известно, что ошибки коррелированы (есть ковариации), добавляют соответствующий член cov(xi, xj) в общую сумму. В школьном курсе обычно считают без корреляций. 5) Примеры задач (пошагово) Пример 1. Прямое косвенное измерение через среднее Задача: измеряете длину D как среднее двух отсчётов с погрешностями. Пусть a = 12.35 см ± 0.02 см, b = 12.37 см ± 0.02 см. D = (a + b)/2. - z = f(a, b) = (a + b)/2 - ∂f/∂a = 1/2, ∂f/∂b = 1/2 - Δa = 0.02, Δb = 0.02 - Δz = sqrt( (1/2 · 0.02)^2 + (1/2 · 0.02)^2 ) = sqrt( (0.01)^2 + (0.01)^2 ) = sqrt(0.0001 + 0.0001) = sqrt(0.0002) ≈ 0.0141 см - Итог: D = 12.36 см ± 0.014 см (около 0.14 мм) Пример 2. Косвенное измерение площади через измерения сторон Задача: площадь прямоугольника S = a b, где a = 4.0 см ± 0.1 см, b = 3.0 см ± 0.2 см. - z = f(a, b) = a b - ∂f/∂a = b, ∂f/∂b = a - Δa = 0.1, Δb = 0.2 - Подставляем: Δz ≈ sqrt( (b Δa)^2 + (a Δb)^2 ) = sqrt( (3.0·0.1)^2 + (4.0·0.2)^2 ) = sqrt( (0.3)^2 + (0.8)^2 ) = sqrt(0.09 + 0.64) = sqrt(0.73) ≈ 0.854 см^2 - Результат: S ≈ 12.0 см^2 ± 0.85 см^2 (приблизительно) Пример 3. Гипотенуза через стороны Задача: найти расстояние s = √(x^2 + y^2). Пусть x = 5.0 см ± 0.1 см, y = 12.0 см ± 0.2 см. - z = √(x^2 + y^2) - ∂z/∂x = x/z, ∂z/∂y = y/z, где z = √(x^2 + y^2) = √(25 + 144) = √169 = 13 - Δz ≈ sqrt( ( (5/13)·0.1 )^2 + ( (12/13)·0.2 )^2 ) = sqrt( (0.0385)^2 + (0.1846)^2 ) ≈ sqrt(0.00148 + 0.0341) ≈ sqrt(0.0356) ≈ 0.1888 см - Итог: s ≈ 13.0 см ± 0.19 см 6) Что ещё полезно помнить - Сигнатура ошибок: бывают случайные (случайная погрешность) и систематические (постоянная смещённость). Приведённый метод учитывает случайные погрешности. Систематические требуют отдельной оценки (калибровка, учёт bias). - Если есть повторные измерения, часто берут среднее значение и оценивают погрешность по разбросу (например, стандартная ошибка среднего). Но для строгое propagation используйте формулы выше для каждого измерения и потом сводите их. - Важное практическое правило: проверяйте размерность и разумность результата. Если Δz выходит больше, чем само z, пересмотрите исходные Δxi или метод расчётов. Если хочешь, могу применить этот подход к конкретной задаче с твоими числами: выпиши, какие величины измерены и как они связаны через функцию f, и я вычислю погрешность шаг за шагом.