y=x^2+3x-5

Задача: y = x^2 + 3x - 5

Цель: понять свойства квадратичной функции и как она будет выглядеть на графике.

Ключевые шаги и выводы

1. Приведём к виду вершины (форму параболы): -(x^2 + 3x) можно записать как (x + 3/2)^2 - (3/2)^2.

• Значит y = x^2 + 3x - 5 = (x + 3/2)^2 - 9/4 - 5 = (x + 3/2)^2 - 29/4.

Формула в вершине: y = (x + 3/2)^2 - 29/4.

2. Координаты вершины и ось симметрии:

• Координата по x вершины: x_v = -b/(2a) = -3/(2·1) = -3/2.
• Значение функции в вершине (y-координата): y_v = -29/4.
• Ось симметрии: x = -3/2.
• Точка вершины: (-3/2, -29/4) ≈ (-1.5, -7.25).

3. Корни уравнения (пересечение графика с осью x):

• Дискриминант: Δ = b^2 - 4ac = 3^2 - 4·1·(-5) = 9 + 20 = 29.
• Корни: x = (-b ± sqrt(Δ)) / (2a) = (-3 ± sqrt(29)) / 2.
• Приближённо: x1 ≈ (-3 - 5.385)/2 ≈ -4.1925, x2 ≈ (-3 + 5.385)/2 ≈ 1.1925.

4. Пересечение с осью y (y-перехват):

• При x = 0: y = 0^2 + 3·0 - 5 = -5.
• Значит график пересекает ось y в точке (0, -5).

5. Направление ветвей и область значений (множество значений на графике):

• a = 1 > 0, значит парабола открывается вверх.
• Это означает, что минимальное значение достигается в вершине: y_min = y_v = -29/4.
• Следовательно, диапазон значений: y ∈ [-29/4, +∞).

6. Приведение к форме для графика (для быстрого чертежа):

• Вершина: (-3/2, -29/4).
• Ось симметрии: x = -3/2.
• Уравнение в форме параболы: y = (x + 3/2)^2 - 29/4.
• Корни: x ≈ -4.193 и x ≈ 1.193.
• Y-перехват: (0, -5).

Короткое резюме:

• y = x^2 + 3x - 5 — парабола, открывающаяся вверх.
• Вершина в точке (-1.5, -7.25), ось симметрии x = -1.5.
• Корни: (-3 ± sqrt(29)) / 2 ≈ -4.193 и 1.193.
• y-перехват: -5.
• Диапазон значений: y ≥ -29/4.

Если хочешь, могу показать пошагово чертёж или построить таблицу значений под разные x для наглядной аппроксимации графика.