y=2-(x-5)/(x*2-5x) построй график

Задача: график функции y = 2 - (x-5)/(x*2 - 5x).

Пошаговое решение и как построить график (для 9-го класса, цель: понять)

1. Упрощение функции

• Доминатор: x*2 - 5x = 2x - 5x = -3x.
• Следовательно: y = 2 - (x-5)/(-3x) = 2 + (x-5)/(3x).
• Приводим к одномеру: y = (7x - 5)/(3x) = 7/3 - 5/(3x).

2. Область определения

• Дискриминация: x ≠ 0 (нельзя делить на ноль). Значит график имеет вертикальную асимптоту x = 0.

3. Асимптоты

• Горизонтальная асимптота: при больших |x| y → 7/3. Значит y = 7/3 — горизонтальная асимптота.
• Вертикальная асимптота: x = 0.

4. Пересечения с осями

• Пересечение с осью x (y = 0): (7x - 5)/(3x) = 0 → 7x - 5 = 0 → x = 5/7. Значит есть точка пересечения: (5/7, 0).
• Пересечение с осью y: невозможно, потому что x = 0 не входит в область определения. Следовательно, точки на оси y нет.

5. Поведение графика и формы

• Форма: дробно-рациональная функция вида y = a + b/x, значит график — гипербола с оськами асимптот.
• Ваша функция: y = 7/3 - 5/(3x). Центр гиперболы в точке (0, 7/3). Вертикальная асимптота x = 0, горизонтальная асимптота y = 7/3.
• Анализ по веткам:
  • При x > 0: -5/(3x) отрицательно, поэтому y < 7/3. При x → 0+ y → -∞; при x → +∞ y → 7/3^-.
  • При x < 0: -5/(3x) положительно, поэтому y > 7/3. При x → 0- y → +∞; при x → -∞ y → 7/3^+.
• Наблюдение по точкам:
  • x = 1: y = (7 - 5)/3 = 2/3 ≈ 0.667
  • x = 2: y = (14 - 5)/6 = 9/6 = 1.5
  • x = 5/7 ≈ 0.714: y = 0 (пересечение оси x)
  • x = 0.5: y = (3.5 - 5)/1.5 ≈ -1
  • x = -1: y = (-7 - 5)/(-3) = 12/3 = 4
  • x → 0±: y → ±∞ (разные стороны)

6. Как нарисовать график (пошагово)

• Отметьте вертикальную ось x = 0 и горизонтальную ось y = 7/3.
• Нарисуйте вертикальную асимптоту x = 0 и горизонтальную асимптоту y = 7/3.
• Найдите точку пересечения с осью x: (5/7, 0).
• Постройте пару точек на правой ветке (x > 0): например (1, 2/3) и (2, 1.5). Эти точки лежат ниже горизонтальной асимптоты и правее вертикальной.
• Постройте пару точек на левой ветке (x < 0): например (-1, 4) и (-2, примерно 3.17). Эти точки лежат выше горизонтальной асимптотиты.
• Соедините точки плавной кривой, формируя две ветви гиперболы: правая ветвь слева от y = 7/3 и справа от x = 0, левая ветвь в области x < 0, выше y = 7/3.
• Обязательно помните: левая ветвь приближается к асимптотам x = 0 и y = 7/3, но никогда не пересекает их.

Итог

• Функция упрощается до y = 7/3 - 5/(3x).
• Вертикальная асимптота: x = 0; горизонтальная асимптота: y = 7/3.
• x‑пересечение: (5/7, 0). y‑пересечения нет.
• График состоит из двух ветвей гиперболы: левая ветвь лежит выше y = 7/3 и находится при x < 0; правая ветвь разделяется на части, проходящие через (5/7, 0) и подходящие к асимптотам.

Если хотите, могу нарисовать вам график или дать файл XY-таблицу для быстрой печати.