тревожно это категория состояния

Коротко: тревожно не является категорией состояния. Это наречие (часть речи), которое обозначает образ действия и отвечает на вопрос как именно совершается действие.

Пошагово разбор задачи

1. Какая это часть речи?

• тревожно — наречие (образа действия/модальности). Не склоняется.

2. Как образовано и有什么 особенности?

• Образовано от прилагательного тревожный с добавлением суффикса -о.
• Не изменяется по числу, падежу, роду.
• Обычно отвечает на вопросы: как? каким образом? (Как он ждал? — тревожно.)

3. Как используется в предложении?

• Выполняет роль обстоятельства образа действия: Он тревожно смотрел на дверь. Она тревожно улыбнулась (вариант со смыслом «она улыбнулась с тревожной настройкой»; допустимо, но звучит несколько необычно).
• Может усиливать значение всей фразы/предиката.

4. Как понять, относится ли это к "категории состояния"?

• В русском языке под «категорией состояния» чаще понимают свойства и состояния субъекта, выражаемые прилагательными/страдательными причастиями: например, тревожный (человек в состоянии тревоги, тревожный характер) или выражения типа «в тревоге», «находиться в тревожном состоянии».
• тревожно же — не выражение состояния субъекта, а способ действия: он сделал что-то тревожно, он действовал тревожно. Поэтому это не категория состояния, а обстоятельство образа действия.
• Если вы хотите говорить именно о состоянии тревоги субъекта, лучше использовать: тревожный (как признак/качество) или быть в состоянии тревоги, в тревоге, испытывать тревогу.

5. Примеры для закрепления

• Он тревожно смотрел на дверь. (наречие образа действия)
• Она тревожно улыбнулась. (пример редкого, но допустимого употребления)
• В его голосе звучала тревога; он говорил в тревоге. (здесь используются существительное/предложная конструкция, которые выражают состояние)

6. Короткое резюме

• тревожно — это наречие образа действия.
• не является категорией состояния.
• если хотите выразить «состояние» субъекта, используйте иначе: тревога, тревожный (как признак), быть в тревоге и т. п.

Если нужно, могу привести ещё больше примеров или сделать мини-упражнение на распознавание частей речи и ответов на вопрос «как?».