почему слово почему пишется через е

Коротко: пишем через е потому, что это исконное слово-предложно-уточняющее сочетание «по чему» и в основе слова лежит форма дательного падежа местоимения «что» — «чему». Соединение «по» + «чему» со временем закрепилось как одно слово «почему».

Подробно по шагам:

• Что значит слово «почему»? Это вопросительное наречие/слово-уточнение со значением «по какой причине? по чему?».
• Откуда оно взялось? Из сочетания «по чему» — буквально «по чему (этому)» т.е. «по какой причине».
• Какому падежу принадлежит «чему»? Это дательный падеж местоимения «что»: кто/что — чему — чему ты учишься... Именно форма «чему» пишется через е: ч-е-м-у.
• Поэтому при слиянии «по» и «чему» мы получаем зафиксированное в современном языке слово «почему» с буквой е после ч: по-чему → почему.
• Примеры использования:
  • Почему ты поздно пришёл? (Почему = по какой причине)
  • Я не понимаю, почему он так поступил.
  • Почему-то все забывают об этом. (слово «почему» может расширяться суффиксом «-то»)

Дополнительные заметки:

• Это не форма типа «покему» или «покем». Правильное написание именно «почему».
• Похожие случаи: есть слова, где вопросительное слово образуется от предлога + форма кого/чего в нужном падеже (например, «по чему» → «почему», «за что» → «за что»; некоторые комбинации исчезают как отдельные слова и становятся единым словом-уточнением).

Если хочешь, могу привести ещё упражнения на проверку орфографии и произношения данного слова.