x4-5x2 +6=0

Задача: x^4 - 5x^2 + 6 = 0

Цель: Понять. Давайте разберём пошагово и подробно.

1. Узнаём вид уравнения

• Это би квадратичное уравнение: присутствуют x^4 и x^2, нет другого степени. Обычно его решают либо через подстановку t = x^2, либо путём факторизации по квадратичным множителям в x^2.

2. Способ 1: подстановка t = x^2 (вариант “квадратичное в квадрате”)

• Пусть t = x^2. Тогда уравнение превращается в t^2 - 5t + 6 = 0.
• Найдём корни этого квадратного уравнения: факторизация t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3) = 0.
• Значит, t = 2 или t = 3.
• Возвращаемся к x: x^2 = 2 или x^2 = 3.
• Решаем по x:
  • x^2 = 2 → x = ±√2
  • x^2 = 3 → x = ±√3

3. Способ 2: прямое факторизование по x^2 (быстрый путь)

• Попробуем разложить как произведение двух квадратов: (x^2 - a)(x^2 - b) = x^4 - (a + b)x^2 + ab.
• Нам нужно, чтобы a + b = 5 и ab = 6. Это достигается a = 2, b = 3.
• Значит: x^4 - 5x^2 + 6 = (x^2 - 2)(x^2 - 3).
• Приравниваем к нулю:
  • x^2 - 2 = 0 → x^2 = 2 → x = ±√2
  • x^2 - 3 = 0 → x^2 = 3 → x = ±√3

4. Ответ

• Решения уравнения: x ∈ { -√3, -√2, √2, √3 }.
• Примерные значения: примерно ±1.732 и ±1.414.

5. Проверка (опционально)

• Подставим корни обратно в исходное уравнение: для x^4 - 5x^2 + 6 при x^2 = 2 или 3 выражение даёт 0, значит корни верны.

Если нужно, могу привести ещё более детальные пояснения по каждому шагу или разобрать похожие примеры.