если в треугольнике равны две высоты, то он равнобедренный.

Задача: доказать, что если в треугольнике равны две высоты, то треугольник равнобедрен.

Пояснение и доказательство (для класса 7, цель — понять):

• Обозначим треугольник ABC со сторонами:

  • a = BC, противоположная вершина A
  • b = CA, противоположная вершина B
  • c = AB, противоположная вершина C Также введём высоты:
  • h_a — высота из вершины A к стороне BC (то есть к a)
  • h_b — высота из вершины B к стороне CA (к b)
  • h_c — высота из вершины C к стороне AB (к c)

• Важное свойство площади треугольника: S = (1/2) · a · h_a = (1/2) · b · h_b = (1/2) · c · h_c то есть площадь можно выразить через любую сторону и соответствующую ей высоту.

• Пусть две высоты равны, например h_a = h_b.

• Тогда из формулы площади: S = (1/2) a h_a и S = (1/2) b h_b. При условии h_a = h_b получаем: (1/2) a h = (1/2) b h, где h = h_a = h_b.

• Отсюда можно сократить на (1/2)h (h ≠ 0 для неdegenerate треугольника) и получить a = b.

• Следовательно, стороны BC и CA равны: a = b. Это значит, что треугольник равнобедрен по основанию AB (вершинами у равных сторон являются A и B, а вершина, соединяющая равные стороны, — C).

• Аналогично, если равны высоты h_b и h_c, то b = c (равны стороны CA и AB, и т.д.). Для любых двух равных высот верны соответствующие равные стороны.

Вывод: в невырожденном треугольнике две равные высоты эквивалентны равенству соответствующих сторон, поэтому треугольник является равнобедренным.