Если в треугольнике равны две высоты, то он равнобедренный.

Задача: доказать, что если в треугольнике равны две высоты, то треугольник равнобедрен. Пояснение и доказательство (для класса 7, цель — понять): - Обозначим треугольник ABC со сторонами: - a = BC, противоположная вершина A - b = CA, противоположная вершина B - c = AB, противоположная вершина C Также введём высоты: - h_a — высота из вершины A к стороне BC (то есть к a) - h_b — высота из вершины B к стороне CA (к b) - h_c — высота из вершины C к стороне AB (к c) - Важное свойство площади треугольника: S = (1/2) · a · h_a = (1/2) · b · h_b = (1/2) · c · h_c то есть площадь можно выразить через любую сторону и соответствующую ей высоту. - Пусть две высоты равны, например h_a = h_b. - Тогда из формулы площади: S = (1/2) a h_a и S = (1/2) b h_b. При условии h_a = h_b получаем: (1/2) a h = (1/2) b h, где h = h_a = h_b. - Отсюда можно сократить на (1/2)h (h ≠ 0 для неdegenerate треугольника) и получить a = b. - Следовательно, стороны BC и CA равны: a = b. Это значит, что треугольник равнобедрен по основанию AB (вершинами у равных сторон являются A и B, а вершина, соединяющая равные стороны, — C). - Аналогично, если равны высоты h_b и h_c, то b = c (равны стороны CA и AB, и т.д.). Для любых двух равных высот верны соответствующие равные стороны. Вывод: в невырожденном треугольнике две равные высоты эквивалентны равенству соответствующих сторон, поэтому треугольник является равнобедренным.