1. Монету бросают пять раз. Являются ли противоположными события А «решка выпала более двух раз» и В «орёл выпал более трёх раз»? Ответ объясните

Коротко: эти два события несовместны (могут не происходить оба одновременно), но не являются дополнениями друг к другу. Есть исходы, для которых ни одно из них не выполняется. Разбор по шагам 1) Обозначим X как число решек за 5 бросков. X распадается по биномиальному закону: X ~ Binomial(n=5, p=1/2). 2) Определения событий - A: решка выпала более чем 2 раза → X ∈ {3, 4, 5}. - B: орёл выпал более чем три раза → количество орлов > 3, т.е. орлов 4 или 5. Так как всего 5 бросков, это эквивалентно X ∈ {0, 1} (т.к. орлов = 5 − X). 3) Совместность - A и B не пересекаются, потому что X не может быть одновременно в {3,4,5} и в {0,1}. Следовательно, P(A ∩ B) = 0. Они являются взаимно исключающими событиями. 4) Стоит ли считать их дополнениями (комплементами)? - Чтобы A и B были дополнениями, их объединение должно покрывать весь горизонт исходов. Но X может принимать значения 0,1,2,3,4,5. A охватывает {3,4,5}, B охватывает {0,1}. Значение X = 2 не удовлетворяет ни A, ни B. Поэтому A и B не являются дополнениями. 5) Вероятности (для полноты) - Всего исходов 2^5 = 32. - A: X ∈ {3,4,5} → количество благоприятных исходов = C(5,3) + C(5,4) + C(5,5) = 10 + 5 + 1 = 16. Вероятность P(A) = 16/32 = 1/2. - B: X ∈ {0,1} → количество благоприятных исходов = C(5,0) + C(5,1) = 1 + 5 = 6. Вероятность P(B) = 6/32 = 3/16. - P(A ∩ B) = 0 (они несовместны). - P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/2 + 3/16 = 11/16. Итого: - A и B являются mutually exclusive (несовместны). - Но не являются дополнениями; есть случаи, когда ни A, ни B не происходят (например, точно 2 решки и 3 орла).