Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 6, AC = 54. Найдите АК.

Решение: - Взаимное свойство точек вне окружности: для внешней точки A длина касательной AK удовлетворяет AK^2 = AB · AC, где B и C — точки пересечения секущей через A с окружностью, причём AB — отрезок от A до ближайшей точки B, AC — до дальнейшей точки C. - По условию AB = 6, AC = 54. Тогда AB · AC = 6 · 54 = 324. - Следовательно AK^2 = 324, значит AK = sqrt(324) = 18. Ответ: 18.