1. Используя закон дистрибутивности, упрости логическое выражение:
(A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B).
2. Определи, какие из следующих логических выражений являются тавтологиями, а какие — контрадикциями:
а) (A ∨ ¬A) ∧ (B ∨ ¬B);
б) A ∧ ¬A;
в) A ∨ (B ∧ ¬B).
3. Построй таблицу истинности для следующего логического выражения:
(A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C) ∧ (¬B ∨ ¬C).
Ниже подробные решения по всем трём задачам.
1) Упрощение выражения: (A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) ∨ (¬A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)
- Шаг 1: Группируем по парам, используя дистрибутивность.
(A ∧ B) ∨ (A ∧ ¬B) = A ∧ (B ∨ ¬B) = A ∧ 1 = A
(¬A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B) = ¬A ∧ (B ∨ ¬B) = ¬A ∧ 1 = ¬A
- Шаг 2: Подставляем полученное обратно:
A ∨ ¬A
- Шаг 3: Применяем закон исключения противоречия:
A ∨ ¬A = 1 (таутология)
Ответ: выражение тождественно истинно (тождество), результат — единица.
2) Определение тавтологий/контрадикций
Рассмотрим выражения:
а) (A ∨ ¬A) ∧ (B ∨ ¬B)
- Каждый скобочный член (A ∨ ¬A) и (B ∨ ¬B) — тавтологии.
- Конъюнкция двух тавтологий тоже тавтология.
- Вывод: а) тавтология.
б) A ∧ ¬A
- Противоречие: одновременно истинно быть не может.
- Вывод: б) контрадикция (противоречие).
в) A ∨ (B ∧ ¬B)
- В скобке (B ∧ ¬B) — противоречие = 0.
- Выражение сокращается до A ∨ 0 = A.
- Это не тавтология и не контрадикция: зависит от значений A.
- Вывод: в) не тавтология и не контрадикция (эквивалентно A).
3) Таблица истинности для (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C) ∧ (¬B ∨ ¬C)
Обозначения:
- A, B, C ∈ {0 (ложь), 1 (истина)}
- ¬ — отрицание, ∨ — или, ∧ — и
Таблица по всем 8 комбинациям A,B,C (строка = значения A,B,C; справа — значение всего выражения):
- A=0, B=0, C=0: (A∨B)=0, (¬A∨C)=1, (¬B∨¬C)=1 → 0 ∧ 1 ∧ 1 = 0
- A=0, B=0, C=1: (A∨B)=0, (¬A∨C)=1, (¬B∨¬C)=1 → 0 ∧ 1 ∧ 1 = 0
- A=0, B=1, C=0: (A∨B)=1, (¬A∨C)=1, (¬B∨¬C)=1 → 1 ∧ 1 ∧ 1 = 1
- A=0, B=1, C=1: (A∨B)=1, (¬A∨C)=1, (¬B∨¬C)=0 → 1 ∧ 1 ∧ 0 = 0
- A=1, B=0, C=0: (A∨B)=1, (¬A∨C)=0, (¬B∨¬C)=1 → 1 ∧ 0 ∧ 1 = 0
- A=1, B=0, C=1: (A∨B)=1, (¬A∨C)=1, (¬B∨¬C)=1 → 1 ∧ 1 ∧ 1 = 1
- A=1, B=1, C=0: (A∨B)=1, (¬A∨C)=0, (¬B∨¬C)=1 → 1 ∧ 0 ∧ 1 = 0
- A=1, B=1, C=1: (A∨B)=1, (¬A∨C)=1, (¬B∨¬C)=0 → 1 ∧ 1 ∧ 0 = 0
Итого значения выражения по всем строкам: 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0.
Дополнительно можно заметить, что функция истинна только для двух комбинаций: (A,B,C) = (0,1,0) и (1,0,1). Это можно выразить как сумма минтермов m2 + m5 в стандартной форме (если нужно привести к канонической форме).
