В треугольнике ABC, где AB<BC<AC , один из углов в 2 раза меньше другого и в 3 раза меньше третьего. Найдите угол A.

Решение задачи

1. Пусть углы треугольника обозначим как A, B, C. По условию существует такая пара отношений: один угол вдвое меньше другого и в три раза меньше третьего. Это означает, что три угла равны по отношению 1:2:3. Обозначим самый маленький угол как x, тогда остальные будут 2x и 3x.

2. Сумма углов треугольника равна 180 градусов: x + 2x + 3x = 6x = 180 ⇒ x = 30. Значит углы треугольника: 30°, 60°, 90° (в любом порядке).

3. Дано: AB < BC < AC. Напомним, что стороны противоположны соответствующим углам:

   • AB противоположен углу C,
   • BC противоположен углу A,
   • AC противоположен углу B.

   Следовательно AB < BC < AC эквивалентно c < a < b, то есть углы C < A < B.

   Среди найденных углов 30°, 60°, 90° наибольший — 90°, наименьший — 30°. Чтобы C < A < B выполнялось, должны быть: C = 30°, A = 60°, B = 90°.

4. Ответ: угол A равен 60°. Дополнительно можно отметить, что углы треугольника: A = 60°, B = 90°, C = 30°.