(2sin²x-3sinx+1)/tgx=0,[-π;π/2]

Дано: (2 sin^2 x − 3 sin x + 1) / tan x = 0 на интервале [-π; π/2]. Цель: понять решение подробно. 1) Определение области допустимости - Тани x в знаменателе нельзя: tan x ≠ 0. - Также выражение требует, чтобы tan x было определено, т.е. cos x ≠ 0. - В интервале [-π; π/2] это означает исключить точки, где cos x = 0 или sin x = 0: - cos x = 0 при x = −π/2 и x = π/2 (последняя точка равна верхней границе; в любом случае исключаем); - sin x = 0 при x = −π и x = 0 (обе эти точки надо исключить, так как тогда tan x = 0). - Итоговая область: (-π, −π/2) ∪ (−π/2, 0) ∪ (0, π/2). 2) Решение числителя Задача равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю (поскольку знаменатель в допустимой области не равен нулю): 2 sin^2 x − 3 sin x + 1 = 0. Пусть t = sin x. Тогда 2 t^2 − 3 t + 1 = 0. Разложим квадрат: 2 t^2 − 3 t + 1 = (2t − 1)(t − 1) = 0. Отсюда t = 1 или t = 1/2. 3) Анализ корней по интервалу и условию области - sin x = 1: решения x = π/2 + 2πk. В нашем интервале есть x = π/2, но на этом месте tan x не определён (cos x = 0), а также это точка из области исключений. Значит решений по этому варианту нет. - sin x = 1/2: решения x = π/6 + 2πk и x = 5π/6 + 2πk. В интервале [-π, π/2] годится только x = π/6 (потому что 5π/6 > π/2; другие значения вне интервала или за пределами допустимой области). Проверка на допустимость: для x = π/6, - числитель: 2 sin^2(π/6) − 3 sin(π/6) + 1 = 2·(1/4) − 3·(1/2) + 1 = 0; - знаменатель: tan(π/6) = 1/√3 ≠ 0 и определён. Значит, x = π/6 действительно является решением. 4) Ответ Единственное решение на заданном интервале: x = π/6.