В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны оснований равны 4 и 1, а диагональ пирамиды равна 6. Найдите площадь боковой поверхности усечённой пирамиды. В ответ…

Цель: понять и подробно решить.

Задача: правильная четырёхугольная усечённая пирамида (square frustum) с основаниями сторонами 4 и 1, диагональ пирамиды равна 6. Найдем площадь боковой поверхности и затем поделим её на √103.

Шаг 1. Координатное представление

• Нижнее основание: квадрат со стороной 4, центр в начале координат, z = 0. Его вершины: (±2, ±2, 0).
• Верхнее основание: квадрат со стороны 1, центр также в оси, но на высоте h. Его вершины: (±0.5, ±0.5, h).
• Диагональ усечённой пирамиды берём между противоположными вершинами: A = (2, 2, 0) и C = (−0.5, −0.5, h).

Шаг 2. Найдём высоту h по заданной диагонали

• Расстояние AC (space diagonal) равно: D^2 = (Δx)^2 + (Δy)^2 + (Δz)^2 где Δx = 2 − (−0.5) = 2.5, Δy = 2 − (−0.5) = 2.5, Δz = h. Следовательно: D^2 = 2.5^2 + 2.5^2 + h^2 = 12.5 + h^2.
• D = 6, значит D^2 = 36. Отсюда h^2 = 36 − 12.5 = 23.5 = 47/2.

Шаг 3. Высота боковой трапеции (выступа латы)

• Боковые грани усечённой пирамиды — это равнобедренные трапеции. Возьмём грань, соответствующую стороне основания x = 2 (правый бок). Его нижняя база имеет длину 4, верхняя база — длину 1.
• Расстояние между этими параллельными линиями в их плоскости (высота трапеции) равно длине сегмента между точками (2, 0, 0) и (0.5, 0, h): l = sqrt((Δx)^2 + (Δz)^2) = sqrt((2 − 0.5)^2 + h^2) = sqrt(1.5^2 + h^2) = sqrt(2.25 + h^2).
• Подставим найденное h^2: h^2 = 47/2 = 23.5, значит l = sqrt(2.25 + 23.5) = sqrt(25.75) = sqrt(103/4) = sqrt(103)/2.

Шаг 4. Площадь боковой поверхности

• Площадь одной боковой трапеции: S_одна = ((верхняя база + нижняя база) / 2) * высота трапеции = ( (4 + 1) / 2 ) * l = (5/2) * l.
• Площадь всех 4 боковых трапеций: S_lat = 4 * S_одна = 4 * (5/2) * l = 10 * l.
• Подставим l = sqrt(103)/2: S_lat = 10 * (sqrt(103)/2) = 5 * sqrt(103).

Шаг 5. Ответ, разделённый на √103

• Требуется записать значение, делённое на √103: S_lat / √103 = (5√103) / √103 = 5.

Ответ: 5.