решение с ОДЗ 5/y-2 - 4/y-3 = 1/y

Задача: решить уравнение 5/(y-2) - 4/(y-3) = 1/y с ОДЗ.

План решения:

• Учтем ОДЗ: знаменатели не должны обращать в нуль. Значит y ≠ 0, y ≠ 2, y ≠ 3.
• Объединим дроби слева и далее решим.

Шаги решения:

1. Объединяем дроби слева: 5/(y-2) - 4/(y-3) = [5(y-3) - 4(y-2)] / [(y-2)(y-3)] = (y - 7) / [(y-2)(y-3)]. Значит уравнение становится: (y - 7) / [(y-2)(y-3)] = 1/y.

2. Учитывая ODЗ, можем избавиться от дробей, перемножив обе стороны на общий знаменатель y(y-2)(y-3): y(y - 7) = (y-2)(y-3).

3. Раскроем скобки: y^2 - 7y = y^2 - 5y + 6.

4. Приведем подобные члены: -7y = -5y + 6 → -2y = 6 → y = -3.

5. Проверка на ODЗ и подстановка:

   • ODЗ: y = -3 удовлетворяет условию (не 0, не 2, не 3).
   • Проверка: слева 5/(y-2) - 4/(y-3) при y = -3 равняется 5/(-5) - 4/(-6) = -1 + 2/3 = -1/3. Правая часть 1/y = 1/(-3) = -1/3. Совпадает. Значит решение верно.

Ответ: y = -3.