В параллелограмме АВСД биссектриса угла А, пересекает сторону ВС в точке М. Отрезки АМ иДМ перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если АВ =8.
Дано параллелограмм ABCD, биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдем периметр параллелограмма, если AB = 8.
- Вводные координаты
- Пусть A = (0, 0), AB вдоль оси x и равен 8, тогда B = (8, 0).
- Пусть D = (p, q). Тогда AD имеет длину L = sqrt(p^2 + q^2) и BC = AD = L.
- Следовательно C = B + D = (8 + p, q).
- Биссектор угла A
Вектор вдоль AB: (1, 0). Единичный вектор вдоль AD: (p/L, q/L).
Направление внутренней биссектрисы угла A дано суммой этих единичных векторов: (1 + p/L, q/L).
Параметрически прямая AM задаётся как A + t(1 + p/L, q/L).
Прямая BC задаётся как B + s(p, q).
Найдём пересечение: A + t(1 + p/L, q/L) = B + s(p, q). Из второй координаты: t(q/L) = s q. При q ≠ 0 имеем s = t/L. Подстановка в первую координату даёт: t(1 + p/L) = 8 + (t/L)p. В итоге т = 8, а s = 8/L. Значит точка M имеет координаты: M = A + t(1 + p/L, q/L) = (8(1 + p/L), 8q/L).
- Условие перпендикулярности AM ⟂ DM
AM = M (так как A = (0,0)).
DM = M - D = (8(1 + p/L) - p, 8q/L - q).
Условие перпендикулярности: AM · DM = 0, то есть M · (M - D) = 0.
Вычислим: M · M = M · D.
Математически это даёт следующее равенство: 128(1 + p/L) = 8p + 8L. Упростим: 16(1 + p/L) = p + L.
- Решение
- Обозначим t = p/L. Тогда p = tL, и уравнение становится: 16(1 + t) = L(1 + t).
- Если 1 + t ≠ 0, то L = 16. (Случай 1 + t = 0 означает т = -1 и q = 0, что приводит к вырождению параллелограмма, поэтому его исключаем.)
- Следовательно, BC = L = 16.
- Периметр Периметр параллелограмма P = 2(AB + BC) = 2(8 + 16) = 48.
Ответ: 48.
