y=-(x-2)²+9

Задача: y = -(x-2)^2 + 9

Цель: понять и разобрать график/parabola по данной формуле. Ниже поэтапное решение и объяснения.

1. Определяем ключевые параметры по форме

• Форма y = a(x - h)^2 + k есть вершина в точке (h, k).
• У нас a = -1, h = 2, k = 9.
• Следовательно, вершина параболы: V = (2, 9).
• Ось симметрии: x = h = 2.
• Так как a < 0, парабола открывается вниз (верхушка графика – максимум).

2. Приведём к стандартной форме для дополнительных проверок

• Раскроем скобки: y = -(x-2)^2 + 9 = -(x^2 - 4x + 4) + 9 = -x^2 + 4x - 4 + 9 = -x^2 + 4x + 5.
• Стандартная форма: y = -x^2 + 4x + 5.

3. Найдём корни (пересечения с осью x)

• Приравняем y к нулю: -(x-2)^2 + 9 = 0. (x-2)^2 = 9 → x - 2 = ±3 → x = 2 ± 3 → x = -1, 5.
• Значит, корни/пересечения с осью x: x = -1 и x = 5.

4. Найдём значение на оси y (y-перехват)

• Подставим x = 0: y = -(0-2)^2 + 9 = -4 + 9 = 5.
• y-перехват: (0, 5).

5. Проверка вершины через стандартную форму

• Для y = -x^2 + 4x + 5 вершина находится по формуле x_v = -b/(2a). Здесь a = -1, b = 4 → x_v = -4 / (2 * -1) = 2.
• Подставим x = 2: y = -(2)^2 + 4*2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9.
• Вершина действительно (2, 9).

6. Диапазон значений (область определения и множество значений)

• Область определения: все действительные числа (R), так как полином любой степени определён для всех x.
• Область значений (множество y): так как парабола направлена вниз, максимум достигается в вершине. Range: (-∞, 9].

7. Быстрый графический ориентир (несколько характерных точек)

• Вершина: (2, 9)
• Ось симметрии: x = 2
• Значения: f(1) = 8, f(3) = 8 (симметрично относительно x = 2)
• Другие точки: f(0) = 5, f(4) = 5, f(-1) = 0, f(5) = 0

Итого

• Форма: vertex form y = -(x-2)^2 + 9, также y = -x^2 + 4x + 5 (раскрытие скобок).
• Вершина: (2, 9), ось симметрии: x = 2, парабола открывается вниз.
• x-пересечения: x = -1 и x = 5; y-перехват: y = 5.
• Область значений: (-∞, 9].

Если нужно, могу привести краткий чертёж графика или проверить другие точки.