Y=-(x-2)²+9

Задача: y = -(x-2)^2 + 9 Цель: понять и разобрать график/parabola по данной формуле. Ниже поэтапное решение и объяснения. 1) Определяем ключевые параметры по форме - Форма y = a(x - h)^2 + k есть вершина в точке (h, k). - У нас a = -1, h = 2, k = 9. - Следовательно, вершина параболы: V = (2, 9). - Ось симметрии: x = h = 2. - Так как a < 0, парабола открывается вниз (верхушка графика – максимум). 2) Приведём к стандартной форме для дополнительных проверок - Раскроем скобки: y = -(x-2)^2 + 9 = -(x^2 - 4x + 4) + 9 = -x^2 + 4x - 4 + 9 = -x^2 + 4x + 5. - Стандартная форма: y = -x^2 + 4x + 5. 3) Найдём корни (пересечения с осью x) - Приравняем y к нулю: -(x-2)^2 + 9 = 0. (x-2)^2 = 9 → x - 2 = ±3 → x = 2 ± 3 → x = -1, 5. - Значит, корни/пересечения с осью x: x = -1 и x = 5. 4) Найдём значение на оси y (y-перехват) - Подставим x = 0: y = -(0-2)^2 + 9 = -4 + 9 = 5. - y-перехват: (0, 5). 5) Проверка вершины через стандартную форму - Для y = -x^2 + 4x + 5 вершина находится по формуле x_v = -b/(2a). Здесь a = -1, b = 4 → x_v = -4 / (2 * -1) = 2. - Подставим x = 2: y = -(2)^2 + 4*2 + 5 = -4 + 8 + 5 = 9. - Вершина действительно (2, 9). 6) Диапазон значений (область определения и множество значений) - Область определения: все действительные числа (R), так как полином любой степени определён для всех x. - Область значений (множество y): так как парабола направлена вниз, максимум достигается в вершине. Range: (-∞, 9]. 7) Быстрый графический ориентир (несколько характерных точек) - Вершина: (2, 9) - Ось симметрии: x = 2 - Значения: f(1) = 8, f(3) = 8 (симметрично относительно x = 2) - Другие точки: f(0) = 5, f(4) = 5, f(-1) = 0, f(5) = 0 Итого - Форма: vertex form y = -(x-2)^2 + 9, также y = -x^2 + 4x + 5 (раскрытие скобок). - Вершина: (2, 9), ось симметрии: x = 2, парабола открывается вниз. - x-пересечения: x = -1 и x = 5; y-перехват: y = 5. - Область значений: (-∞, 9]. Если нужно, могу привести краткий чертёж графика или проверить другие точки.