Определи вероятность наступления 2 успехов в серии 11 бинарных испытаний, если одно элементарное событие с 2 успехами имеет вероятность, равную 0,0007.

Цель: понять и получить пошаговое решение.

Кто что дано и что искать

• Есть 11 бинарных (успех/неуспех) испытаний.
• Одно элементарное событие с двумя успехами имеет вероятность 0,0007. Здесь под «одним элементарным событием» понимается конкретное расположение двух успехов в последовательности из 11 испытаний: вероятность такого конкретногоPattern равна p^2 (1−p)^9 = 0,0007.
• Нужно найти вероятность наступления ровно двух успехов в серии из 11 испытаний: P(X = 2), где X ~ Binomial(n=11, p).

Пошаговое решение

1. Количество разных способов выбрать 2 позиции для успехов среди 11 испытаний: C(11, 2) = 55.

2. Вероятность наступления ровно двух успехов в конкретном заданном расположении равно p^2 (1−p)^9.

3. Обобщённая вероятность того, что в 11 испытаниях ровно два успеха, равна сумме по всем таким расположениям: P(X = 2) = C(11, 2) · p^2 (1−p)^9.

4. По условию одно конкретное расположение имеет вероятность 0,0007, то: p^2 (1−p)^9 = 0,0007.

5. Подставим в формулу: P(X = 2) = 55 × 0,0007 = 0,0385.

Ответ: 0,0385 (3,85%).

Примечание

• Если под «одно элементарное событие с 2 успехами» изначально понимали именно итоговое событие X = 2, тогда ответ был бы просто 0,0007. Но согласно формулировке, речь идёт о конкретном расположении двух успехов, поэтому итоговая вероятность X = 2 равна 0,0385.