Докажите, что выражение х в квадрате - 4х + 5 принимает положительные значения при всех значениях

Для всех x ∈ ℝ покажем, что x^2 − 4x + 5 > 0.

1. Прямой способ (доказательство через квадрат): x^2 − 4x + 5 = (x − 2)^2 + 1 ≥ 1 > 0. Минимальное значение достигается в x = 2 и равно 1, следовательно выражение положительно для любых x.

2. Альтернатива через дискриминант: Для квадратичной функции ax^2 + bx + c с a > 0, если дискриминант Δ = b^2 − 4ac < 0, то выражение принимает только положительные значения. Здесь a = 1, b = −4, c = 5, Δ = (−4)^2 − 4·1·5 = 16 − 20 = −4 < 0. Значит для всех x знак квадратичной функции положителен.

Вывод: x^2 − 4x + 5 > 0 для всех x ∈ ℝ (минимум 1 при x = 2).