В треугольнике abc проведена биссектриса ak найдите градусную меру угла B если угол c = 11 ak = ck

Условие: AK — биссектор угла A, K лежит на BC; AK = CK и ∠C = 11°. Найти ∠B.

Обозначения: a = BC, b = CA, c = AB. Тогда AK — длина биссектора при A:

• CK = a·b/(b+c) (по теореме биссектора).
• AK^2 = bc [1 − a^2/(b+c)^2] (формула длины биссектора).

Из условия AK = CK получаем: bc [1 − a^2/(b+c)^2] = a^2 b^2/(b+c)^2 ⇒ a^2(b+c) = c(b+c)^2 ⇒ a^2 = c(b+c).

Применяем Закон Синусов: a = k sin A, b = k sin B, c = k sin C, где k = 2R. Тогда sin^2 A = sin C (sin B + sin C).

С учетом ∠A + ∠B + ∠C = 180° и ∠C = 11° получаем sin A = sin(B+11). Следовательно: sin^2(B+11) = sin11 (sin B + sin11).

Перепишем как sin^2(B+11) − sin^2 11 = sin11 sin B.

Левая часть равна sin B · sin(B+22) (из тождества sin^2x − sin^2y = sin x − sin y и пр.): sin^2(B+11) − sin^2 11 = sin B · sin(B+22).

Значит sin B · sin(B+22) = sin11 · sin B.

Если sin B ≠ 0 (оно не равно нулю в треугольнике), получаем sin(B+22) = sin 11.

Рассматривая допустимые значения B в треугольнике (0° < B < 180°) и C = 11°, единственное решение: B + 22 = 169°, т.е. B = 147°.

Ответ: ∠B = 147°. (Тогда ∠A = 180° − 147° − 11° = 22°.)