Сравните углы треугольника ABC и выясните, может ли быть угол A тупым, если: а) AB>BC>AC; б) AB=AC<BC.

Задача: сравнить углы треугольника ABC и выяснить, может ли угол A быть тупым при условиях: а) AB > BC > AC; б) AB = AC < BC.

Дано правило: в любом треугольнике большая сторона лежит напротив большего угла (теорема противолежащего угла).

а) AB > BC > AC

• Шаг 1. По правилу: AB > BC значит угол C больше угла A. BC > AC значит угол A больше угла B. Следовательно: C > A > B.
• Шаг 2. Угол A не может быть тупым. Если A был бы ≥ 90°, то C, который больше A, был бы > 90°, и сумма A + C уже превысила бы 180°, что противоречит существованию треугольника. Значит A < 90°.
• Вывод: угол A острый (A < 90°). Угол A не может быть тупым.

б) AB = AC < BC

• Шаг 1. AB = AC — треугольник равнобедренный по основаниям AB и AC, значит углы при основании равны: угол B = угол C.
• Шаг 2. BC > AB = AC значит сторона BC больше, против неё угол A больше углов B и C: A > B и A > C, а так как B = C, получаем A > B = C.
• Шаг 3. Может ли A быть тупым? Да. Примет пример: пусть A = 100°, тогда B = C = 40°. Тогда AB = AC (углы при B и C равны), и BC больше, поэтому AB = AC < BC выполняется. Это допустимая конфигурация треугольника.
• Вывод: угол A может быть тупым; существует допустимая конфигурация с A > 90°. Также A может быть и равным 90° или острым, но тупой вариант возможен.

Итого:

• а) при AB > BC > AC угол A обязательно острый (не может быть тупым).
• б) при AB = AC < BC угол A может быть тупым (существуют такие треугольники; например A = 100°, B = C = 40°).