Сгенерируй тест для школьников с учетом следующих параметров: 1. Предмет: Алгебра 2. Тема теста: Математическое ожидание и дисперсия числа успехов и частоты успеха в испытаниях…

Ниже представлен тест по теме: математическое ожидание и дисперсия числа успехов и частоты успеха в испытаниях Бернулли. Тип вопросов — открытые. 10 вопросов. В конце — ответы с решениями.

Тест

1. В серии из n независимых испытаний Бернулли каждый исход — успех с вероятностью p. Обозначим X число успехов за n испытаний. Запишите X в виде суммы индикаторов I_i и запишите его математическое ожидание E[X].

2. Объясните, почему X можно записать как X = ∑_{i=1}^n I_i, где I_i — индикатор успеха на i-м испытании. Найдите E[X] и кратко обоснуйте вывод.

3. Что равно E[I_i] для любого i? Используйте это, чтобы записать E[X] через n и p.

4. Найдите дисперсию X, используя независимость индикаторов I_i. Выпишите обоснование и формулу Var(X).

5. Найдите дисперсию частоты успеха \hat{p} = X/n. Выведите Var(\hat{p}) и объясните интуицию.

6. Числовой пример 1: n = 20, p = 0.25. Найдите:

• E[X];
• Var(X);
• σ_X (стандартное отклонение X).

7. Числовой пример 2: n = 50, p = 0.6. Найдите:

• E[\hat{p}];
• Var(\hat{p});
• σ_{\hat{p}}.

8. Опишите распределение числа успехов X. Какой формой распределения оно является и какова его pmf? Напишите формулу.

9. Связь между математическим ожиданием X и частотой \hat{p}: покажите, что E[\hat{p}] = p и объясните почему это следует из линейности ожидания.

10. Числовой пример 3: n = 15, p = 0.4. Найдите:

• E[X];
• Var(X);
• Var(\hat{p});
• σ_{\hat{p}}.

Ответы

1. X — биномиальная случайная величина с параметрами (n, p). X можно представить как X = ∑_{i=1}^n I_i, где I_i — индикатор удачи в i-м испытании: I_i = 1, если успех, и 0, иначе. E[X] = ∑ E[I_i] = ∑ p = n p.

2. Поскольку каждый I_i принимает значение 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью 1-p, то E[I_i] = 1·p + 0·(1-p) = p. Следовательно, E[X] = ∑ E[I_i] = n p.

3. Var(I_i) = p(1-p) (для бинарной переменной). Так как испытания независимы, Var(X) = ∑ Var(I_i) = n p(1-p).

4. \hat{p} = X/n. Свойство дисперсии линейной операции: Var(aY) = a^2 Var(Y). Значит Var(\hat{p}) = Var(X/n) = Var(X)/n^2 = [n p(1-p)]/n^2 = p(1-p)/n.

5. Пример 1: n = 20, p = 0.25

• E[X] = n p = 20 · 0.25 = 5
• Var(X) = n p(1-p) = 20 · 0.25 · 0.75 = 3.75
• σ_X = sqrt(Var(X)) = sqrt(3.75) ≈ 1.9365

6. Пример 2: n = 50, p = 0.6

• E[\hat{p}] = p = 0.6
• Var(\hat{p}) = p(1-p)/n = 0.6 · 0.4 / 50 = 0.24 / 50 = 0.0048
• σ_{\hat{p}} = sqrt(0.0048) ≈ 0.0693

7. Распределение X: X ~ Binomial(n, p). Его pmf: P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} для k = 0,1,...,n.

8. Связь E[X] и E[\hat{p}]:

• E[\hat{p}] = E[X/n] = (1/n) E[X] = (1/n) (n p) = p. Это следствие линейности ожидания.

9. Пример 3: n = 15, p = 0.4

• E[X] = n p = 15 · 0.4 = 6
• Var(X) = n p(1-p) = 15 · 0.4 · 0.6 = 3.6
• Var(\hat{p}) = p(1-p)/n = 0.4 · 0.6 / 15 = 0.24 / 15 = 0.016
• σ_{\hat{p}} = sqrt(0.016) ≈ 0.1265

Если нужно, могу расширить тест дополнительными примерами или задачами на применение формул к реальным данным.