Сгенерируй тест для школьников с учетом следующих параметров: 1. Предмет: Алгебра 2. Тема теста: Математическое ожидание и дисперсия числа успехов и частоты успеха в испытаниях Бернулли. 3. Класс учеников: 9 4. Типы вопросов в тесте: Открытый вопрос 5. Количество вопросов: 10 6. Выводить ли тест с ответами: Да

Ниже представлен тест по теме: математическое ожидание и дисперсия числа успехов и частоты успеха в испытаниях Бернулли. Тип вопросов — открытые. 10 вопросов. В конце — ответы с решениями. Тест 1) В серии из n независимых испытаний Бернулли каждый исход — успех с вероятностью p. Обозначим X число успехов за n испытаний. Запишите X в виде суммы индикаторов I_i и запишите его математическое ожидание E[X]. 2) Объясните, почему X можно записать как X = ∑_{i=1}^n I_i, где I_i — индикатор успеха на i-м испытании. Найдите E[X] и кратко обоснуйте вывод. 3) Что равно E[I_i] для любого i? Используйте это, чтобы записать E[X] через n и p. 4) Найдите дисперсию X, используя независимость индикаторов I_i. Выпишите обоснование и формулу Var(X). 5) Найдите дисперсию частоты успеха \hat{p} = X/n. Выведите Var(\hat{p}) и объясните интуицию. 6) Числовой пример 1: n = 20, p = 0.25. Найдите: - E[X]; - Var(X); - σ_X (стандартное отклонение X). 7) Числовой пример 2: n = 50, p = 0.6. Найдите: - E[\hat{p}]; - Var(\hat{p}); - σ_{\hat{p}}. 8) Опишите распределение числа успехов X. Какой формой распределения оно является и какова его pmf? Напишите формулу. 9) Связь между математическим ожиданием X и частотой \hat{p}: покажите, что E[\hat{p}] = p и объясните почему это следует из линейности ожидания. 10) Числовой пример 3: n = 15, p = 0.4. Найдите: - E[X]; - Var(X); - Var(\hat{p}); - σ_{\hat{p}}. Ответы 1) X — биномиальная случайная величина с параметрами (n, p). X можно представить как X = ∑_{i=1}^n I_i, где I_i — индикатор удачи в i-м испытании: I_i = 1, если успех, и 0, иначе. E[X] = ∑ E[I_i] = ∑ p = n p. 2) Поскольку каждый I_i принимает значение 1 с вероятностью p и 0 с вероятностью 1-p, то E[I_i] = 1·p + 0·(1-p) = p. Следовательно, E[X] = ∑ E[I_i] = n p. 3) Var(I_i) = p(1-p) (для бинарной переменной). Так как испытания независимы, Var(X) = ∑ Var(I_i) = n p(1-p). 4) \hat{p} = X/n. Свойство дисперсии линейной операции: Var(aY) = a^2 Var(Y). Значит Var(\hat{p}) = Var(X/n) = Var(X)/n^2 = [n p(1-p)]/n^2 = p(1-p)/n. 5) Пример 1: n = 20, p = 0.25 - E[X] = n p = 20 · 0.25 = 5 - Var(X) = n p(1-p) = 20 · 0.25 · 0.75 = 3.75 - σ_X = sqrt(Var(X)) = sqrt(3.75) ≈ 1.9365 6) Пример 2: n = 50, p = 0.6 - E[\hat{p}] = p = 0.6 - Var(\hat{p}) = p(1-p)/n = 0.6 · 0.4 / 50 = 0.24 / 50 = 0.0048 - σ_{\hat{p}} = sqrt(0.0048) ≈ 0.0693 7) Распределение X: X ~ Binomial(n, p). Его pmf: P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} для k = 0,1,...,n. 8) Связь E[X] и E[\hat{p}]: - E[\hat{p}] = E[X/n] = (1/n) E[X] = (1/n) (n p) = p. Это следствие линейности ожидания. 9) Пример 3: n = 15, p = 0.4 - E[X] = n p = 15 · 0.4 = 6 - Var(X) = n p(1-p) = 15 · 0.4 · 0.6 = 3.6 - Var(\hat{p}) = p(1-p)/n = 0.4 · 0.6 / 15 = 0.24 / 15 = 0.016 - σ_{\hat{p}} = sqrt(0.016) ≈ 0.1265 Если нужно, могу расширить тест дополнительными примерами или задачами на применение формул к реальным данным.