Из города А в город Б выехал автобус, а через 2 часа со скоростью 65 км/ч следом за ним выехал автомобиль, догнал автобус в городе К и повернул обратно. Когда автомобиль вернулся в А, автобус прибыл в Б. Найдите расстояние от А до К, если расстояние между городами А и Б равно 336 км. Ответ дайте в километрах.

Задача: автобус из A в B, расстояние AB = 336 км. Через 2 часа после автобуса выехал автомобиль со скоростью 65 км/ч, догнал автобус в городе K и повернул обратно. Когда автомобиль вернулся в A, автобус прибыл в B. Найдите AK. Пусть AK = x (км). Пусть скорость автобуса = v (км/ч). 1) В момент встречи автобус проходил путь x за время t_m = x/v. Автомобиль выезжал с задержкой 2 часа и прошёл путь x за время t_m − 2, поэтому: x = 65(t_m − 2) = 65(x/v − 2). Отсюда v = 65x/(x + 130). 2) После встречи автомобиль снова едет к A со скоростью 65, т.е. время обратно до A: t_back = x/65. Автобус же идёт до B со скоростью v, время до B: t_to_B = (336 − x)/v. Условие, что они достигают пунктов одновременно: t_back = t_to_B. Тогда x/65 = (336 − x)/v, отсюда v = 65(336 − x)/x. 3) Сравним два выражения для v: 65x/(x + 130) = 65(336 − x)/x. После сокращения: x/(x + 130) = (336 − x)/x. Перемножим: x^2 = (336 − x)(x + 130) = 336x + 43680 − x^2 − 130x. Получаем квадратное уравнение: 2x^2 − 206x − 43680 = 0 → x^2 − 103x − 21840 = 0. 4) Дискриминант: D = 103^2 + 4·21840 = 10609 + 87360 = 97969 = 313^2. Корни: x = (103 ± 313)/2. Положительный корень: x = (103 + 313)/2 = 208. Ответ: AK = 208 км. Проверка: Если AK = 208, то v = 65(336 − 208)/208 = 65·128/208 = 65·8/13 = 40 км/ч. Время встречи t_m = x/v = 208/40 = 5.2 ч. Автомобиль ехал 3.2 ч после выезда (5.2 − 2), прошёл 208 км, т.е. догнал на K. Время обратно до A: 208/65 ≈ 3.2 ч. Время автобуса от K до B: (336 − 208)/40 = 128/40 = 3.2 ч. Совпадение условий.