Прямая пересекает стороны AB и AD параллелограмма ABCD в точках M и N соответсвенно, а продолжения сторон BC и CD — в точках P и Q (рис. 2). Найдите площадь параллелограмма, если площади треугольников PBM , MAN и NDQ равны 1 , 4 и 9 соответственно.

Изначально задача такова: параллелограмм ABCD, прямая пересекает стороны AB и AD в точках M и N, а продолжения сторон BC и CD — в точках P и Q. Даны площади треугольников PBM, MAN и NDQ равные 1, 4 и 9. Найдите площадь параллелограмма ABCD. Решение по шагам 1) Ввод координат - Пусть A = 0, векторы AB и AD обозначим через u и v соответственно. Тогда: - B = u, D = v, C = u + v. - Площадь параллелограмма ABCD равна S = |det(u, v)|. 2) Параметризация точек на сторонах - М находится на AB: M = s u, где s ∈ (0,1). - N находится на AD: N = t v, где t ∈ (0,1). 3) Прямая MN и её пересечения с линиями BC и CD - Линия BC задаётся B + μ v = u + μ v, где μ ∈ R. - Линия CD задаётся C + ν (D − C) = (u+v) − ν u = (1 − ν) u + v, где ν ∈ R. - Найдём μ и ν так, чтобы точка MN пересекла эти линии. Пересечение MN с BC: M + ξ (N − M) = s u + ξ (t v − s u) = s(1 − ξ) u + ξ t v. Сравнивая с u + μ v, получаем систему: s(1 − ξ) = 1 ξ t = μ Из первого уравнения ξ = 1 − 1/s. Следовательно μ = t ξ = t (s − 1)/s. Заметим, что μ может быть любым числом (точка P может лежать на продолжении BC). Пересечение MN с CD: MN = s(1 − ξ) u + ξ t v должно равняться (1 − ν) u + v. Сравнивая коэффициенты по базису {u, v}, получаем: s(1 − ξ) = 1 − ν ξ t = 1 Из второго уравнения ξ = 1/t. Подставляя в первое: 1 − ν = s (1 − 1/t) = s (t − 1)/t Отсюда ν = 1 − s (t − 1)/t = 1 − s + (s/t). Итак, параметры: - μ = t (s − 1)/s (обычно отрицательное, если s ∈ (0,1)), - ν = 1 − s + s/t (>1, т. е. Q лежит на продолжении CD). 4) Выражение площадей через s, t и S - MAN: площади треугольника с вершинами A, M, N равна area(MAN) = 1/2 |det(M, N)| = 1/2 |det(su, tv)| = 1/2 s t S. По условию area(MAN) = 4, значит 1/2 s t S = 4 ⇒ S = 8/(s t). - PBM: треугольник с вершинами P, B, M. Используя формулу площади через векторы: area(PBM) = 1/2 |det(P − B, M − B)|. P − B = μ v, M − B = (s − 1) u. Поэтому area(PBM) = 1/2 |μ| |s − 1| det(v, u) = 1/2 |μ| (1 − s) S, так как det(v, u) = −det(u, v) и S = |det(u, v)|. Подставляя μ = t (s − 1)/s, получаем |μ| = t (1 − s)/s, поэтому area(PBM) = 1/2 · t (1 − s)/s · (1 − s) · S = 1/2 · t (1 − s)^2 / s · S. По условию area(PBM) = 1. Подставим S = 8/(s t): 1 = 1/2 · t (1 − s)^2 / s · 8/(s t) = 4 (1 − s)^2 / s^2. Отсюда (положительная сторона) (1 − s)/s = 1/2, следовательно s = 2/3. - NDQ: треугольник N, D, Q. Используем формулу: area(NDQ) = 1/2 |det(D − N, Q − N)|. D − N = v − t v = (1 − t) v. Q − N = (u+v − ν u) − t v = (1 − ν) u + (1 − t) v. Тогда area(NDQ) = 1/2 |det((1 − t) v, (1 − ν) u + (1 − t) v)| = 1/2 |(1 − t)(1 − ν) det(v, u)| = 1/2 (1 − t) |1 − ν| S. Так как ν > 1, |1 − ν| = ν − 1. Из ранее полученного выражения ν = 1 − s + s/t имеем ν − 1 = −s + s/t = s(1/t − 1) = s (1 − t)/t. Следовательно area(NDQ) = 1/2 (1 − t) · [s (1 − t)/t] · S = 1/2 · s · (1 − t)^2 / t · S. По условию area(NDQ) = 9. Подставим S = 8/(s t) (и s = 2/3, полученное ранее): 9 = 1/2 · s · (1 − t)^2 / t · 8/(s t) = 4 · (1 − t)^2 / t^2. Отсюда (1 − t)/t = 3/2 (поскольку t ∈ (0,1) и выражение положительное), следовательно t = 2/5. 5) Находим площадь параллелограмма - Имеем s = 2/3 и t = 2/5. Тогда S = 8/(s t) = 8 / ((2/3) · (2/5)) = 8 / (4/15) = 8 · (15/4) = 30. Ответ: площадь параллелограмма ABCD равна 30. Промежуточная проверка - area(MAN) = 1/2 · s t · S = 1/2 · (2/3) · (2/5) · 30 = 4. - area(PBM) = 1/2 · |μ| (1 − s) S, где μ = t(s − 1)/s = (2/5)(-1/3)/(2/3) = −1/5, значит |μ| = 1/5. area(PBM) = 1/2 · (1/5) · (1 − 2/3) · 30 = 1. - area(NDQ) = 1/2 (1 − t) |ν − 1| S, ν − 1 = s (1/t − 1) = (2/3)(5/2 − 1) = 1, area(NDQ) = 1/2 · (3/5) · 1 · 30 = 9. Все заданные площади совпадают. Итого: площадь параллелограмма ABCD равна 30.