Cos2x- sin2x=0

Задача: cos(2x) − sin(2x) = 0 Пошаговое решение 1) Перепишем равенство: cos(2x) = sin(2x) 2) Способ 1 (деление на cos(2x)): Если cos(2x) ≠ 0, можно поделить обе части на cos(2x): tan(2x) = 1 решение для аргумента тангенса: 2x = π/4 + kπ, где k ∈ Z отсюда: x = π/8 + kπ/2, k ∈ Z Замечание: если cos(2x) = 0, то 2x = π/2 + kπ, тогда sin(2x) = ±1, и cos(2x) − sin(2x) ≠ 0. Следовательно таких точек решений нет, и деление было корректным. 3) Способ 2 (использование преобразования sin − cos): sin(2x) − cos(2x) = 0 sin(2x) − cos(2x) = √2 · sin(2x − π/4) Поэтому √2 · sin(2x − π/4) = 0 ⇒ sin(2x − π/4) = 0 2x − π/4 = kπ, k ∈ Z отсюда: x = π/8 + kπ/2, k ∈ Z Оба способа дают одно и то же множество решений. Итоговый ответ Все решения уравнения cos(2x) − sin(2x) = 0: x = π/8 + kπ/2, где k — любое целое число. В декартовых градусах: x = 22.5° + 90°·k, k ∈ Z.