Дана функция f(x)=||x|-3+2 Опиши как правильно построить график функции. Нули функции, формула и так далее При каких значениях "с" уравнение f(x)=с имеет ровно три решения?

Дано: f(x) = ||x| - 3 + 2. По смыслу это f(x) = ||x| - 1|. Ниже даю подробное решение. 1) Как понять график - Прежде всего упростим выражение: f(x) = ||x| - 1|. - Функция четная: f(-x) = f(x), так как завиcит только от |x|. - Разбиение по участкам происходит там, где меняется знак внутри двух абсолютных: - внутри: |x| - 1 меняет знак при |x| = 1, то есть при x = -1 и x = 1. - По участкам получаем: - Для x ≤ -1: |x| = -x, поэтому f(x) = |-x - 1| = -x - 1. (Здесь внутри положительно: |-x - 1| = (-x) - 1 = -x - 1) - Для -1 ≤ x ≤ 1: |x| ≤ 1, значит |x| - 1 ≤ 0, и f(x) = -( |x| - 1 ) = 1 - |x|. - Для x ≥ 1: |x| = x, значит f(x) = |x - 1| = x - 1 (так как x ≥ 1, внутри не отр.). - Эквивалентно можно записать явно: - x ≤ -1: f(x) = -x - 1 - -1 ≤ x ≤ 1: f(x) = 1 - |x| (то же можно разложить на две части: 1 + x при x ≤ 0 и 1 - x при x ≥ 0) - x ≥ 1: f(x) = x - 1 - Поворотные точки и характер графика: -Корни/ноль функции: f(x) = 0 при ||x| - 1| = 0 ⇒ |x| = 1 ⇒ x = -1 и x = 1. - Максимум внутри промежутка [-1, 1] достигается в x = 0: f(0) = ||0| - 1| = | -1| = 1. - На больших |x| поведение линейно: f(x) ≈ |x| - 1, т. е. график расходится вверх как две ветви слева и справа. 2) Как выглядит график (описательно) - График симметричен относительно оси y. - Он пересекает ось Ox в точках x = -1 и x = 1 (нулевые значения). - В точке x = 0 достигает максимума y = 1. - С обеих сторон растет линейно с уклоном 1 вправо и -1 слева, уходя в бесконечность. 3) Нули функции - Нули f(x) = 0: x = -1 и x = 1. 4) Как решать уравнение f(x) = c (зависимая переменная c) - Рассматриваем | ||x| - 1| = c, где c ∈ R. - Пусть t = |x| ≥ 0. Тогда задача равна |t - 1| = c. - Решения по t: - t - 1 = c или t - 1 = -c → t = 1 + c или t = 1 - c. - Требование: t ≥ 0. Значит: - если c ≤ 1, то t1 = 1 - c ≥ 0 и t2 = 1 + c > 0 существуют; - если c > 1, то t1 = 1 - c < 0 и существует только t2 = 1 + c. - Далее по x из t = |x|: - Если t > 0, то x = ± t → два решения. - Если t = 0, то есть x = 0 единственное решение. - Подсчет количества решений в зависимости от c ≥ 0: - c < 0: решений нет. - c = 0: t = 1 единственный; x = ±1 → 2 решения. - 0 < c < 1: т1 = 1 - c > 0, т2 = 1 + c > 0 → четыре решения: x = ±(1 - c) и x = ±(1 + c). - c = 1: t1 = 0, t2 = 2 → решения x = 0 и x = ±2 → три решения. - c > 1: t1 < 0 и не учитывается, остаются x = ±(1 + c) → два решения. - Ответ на вопрос про ровно три решения: - Это происходит только при c = 1. 5) Формула решения f(x) = c (кратко) - Для 0 ≤ c < 1: x ∈ { -(1 + c), -(1 - c), (1 - c), (1 + c) } (четыре решения). - Для c = 1: x ∈ { -2, 0, 2 } (три решения). - Для c > 1: x ∈ { -(1 + c), (1 + c) } (два решения). - Для c < 0: решений нет. 6) Итог - График функции f(x) = ||x| - 1| строится по разбиению на участки: x ≤ -1, -1 ≤ x ≤ 1, x ≥ 1. - Нули: x = -1 и x = 1. - Уравнение f(x) = c имеет ровно три корня только при c = 1.