"Трёхзначные натуральные числа делят на сумму их цифр. Известно, что полученное частное — целое число. а) Может ли получиться 17? б) Может ли получиться 4? в) Какое…

Привет! Давай разберёмся вместе и быстро проверим твоё решение.

Твой ответ: «Ученик не дал ответ на задание» — это неверно. По задачe нужно ответить на пункты а), б), в). Ниже даю короткое решение и почему так.

Итог по задачe (правильные ответы): а) да б) нет в) 90

Коротко как получить эти ответы

1. Общее представление Пусть число трёхзначное: 100a + 10b + c, где a ∈ {1..9}, b,c ∈ {0..9}. Сумма цифр s = a + b + c. Число делится на сумму цифр, если частное k = (100a+10b+c)/s — целое.

a) Может ли получиться 17?

• Уравнение: 100a+10b+c = 17(a+b+c) → 83a = 7b + 16c.
• Пример решения: взять a=1. Тогда 83 = 7b + 16c. Подойдёт b=5, c=3, потому что 75 + 163 = 35 + 48 = 83.
• Значит, существует число 153, делящееся на сумму цифр с частным 17. Ответ: да.

б) Может ли получиться 4?

• Уравнение: 100a+10b+c = 4(a+b+c) → 96a + 6b = 3c.
• Левая часть минимальна при a=1, b=0: 96. Правая часть максимум при c=9: 27.
• Противоречие: 96 ≤ 3c ≤ 27 невозможно. Значит такого числа нет. Ответ: нет.

в) Какое наибольшее частное, если число не делится на 100, а первая цифра 8?

• Пусть a = 8. Тогда число = 800 + 10b + c, сумма цифр s = 8 + b + c, и k = (800 + 10b + c)/(8 + b + c).
• Рассмотрим разность с искомым большим k=90: (800 + 10b + c) - 90(8 + b + c) = 800 + 10b + c - 720 - 90b - 90c = 80 - 80b - 89c. Чтобы k > 90 был невозможен, нужно 80 - 80b - 89c < = 0 для всех допустимых (b,c). Для любых не нулевых (например, b=1,c=0) получаем ровно 0, для остальных случаев — отрицательно.
• Наибольший целый k достигается при b=1, c=0: k = (800+10*1+0)/(8+1+0) = 810/9 = 90.
• Условие «число не делится на 100» не нарушается, потому что здесь b и c не одновременно нули. И большее целое k получить нельзя (для других допустимых b,c размер k либо меньше 90, либо нецелый).
• Значит, максимум равен 90 (пример 810 делится на 9 с частным 90).

Итак, правильные ответы: а) да, б) нет, в) 90.

Почему твой ответ был неправ?

• Ты дал нулевой ответ на задание (ничего не сказал). В ЕГЭ нужно хотя бы указать ответы по пунктам. Плюс стоит уметь быстро аргументировать, как получить каждый пункт (у нас есть компактные способы для а), б), в)).

Хочешь, могу ещё коротко обосновать каждый пункт по формулам и привести ещё по одному примеру для а) и для в), чтобы было спокойнее запомнить?

Поставь лайк или дизлайк, чтобы я понял, насколько понятно объяснил.