В треугольник АВС провели медиану ВМ, ̸ BAC = 30∘ , ̸ ВМС = 45∘ . Найти ̸ АВС

Ответ: ∠ABC = 45°.

Пошагово:

1. Пусть AC лежит на оси Ox, возьмём середину M = (0,0). Тогда A = (−1,0), C = (1,0).

2. ∠BAC = 30°. Р ray AB образует угол 30° с AC (направлением к C), то есть прямая AB имеет угол 30° к оси Ox. Это даёт уравнение линии AB: y = (tan 30°)(x + 1) = (1/√3)(x + 1).

3. ∠BMC = 45°. Вектор MC идёт вдоль +Ox, значит направление MB образует угол 45° с Ox. Так как B лежит выше оси, MB лежит на прямой y = x.

4. Найдём пересечение AB и MB: y = x и y = (1/√3)(x + 1) → x = (1/√3)(x + 1). Решив: x(1 − 1/√3) = 1/√3 ⇒ x = (√3 + 1)/2, y = x. Следовательно B = ((√3+1)/2, (√3+1)/2).

5. Рассчитаем угол ∠ABC через скалярное произведение векторов BA и BC. A = (−1,0), C = (1,0), B = (x,x) с x = (√3+1)/2. BA = A − B = (−1 − x, −x), BC = C − B = (1 − x, −x). Произведение: BA · BC = (−1 − x)(1 − x) + (−x)(−x) = −(1 − x^2) + x^2 = 2x^2 − 1. Длины: |BA|^2 = (1 + x)^2 + x^2 = 1 + 2x + 2x^2, |BC|^2 = (1 − x)^2 + x^2 = 1 − 2x + 2x^2. Подстановка x = (√3+1)/2 даёт: 2x^2 − 1 = 1 + √3, |BA|^2 = 4 + 2√3, |BC|^2 = 2.

   Тогда cos ∠ABC = (BA · BC) / (|BA||BC|) = (1+√3) / √[(4+2√3)·2]. Приведя к единицам: cos^2 ∠ABC = (1+√3)^2 / [2(4+2√3)] = (4+2√3) / (8+4√3) = 1/2.

   Положительный корень даёт ∠ABC = 45°.

Итого, угол при вершине B равен 45°.