В школьной библиотеке на новых стеллажах расставили 432 книги. Известно, что во всех залах библиотеки одинаковое количество стеллажей, на каждом стеллаже одинаковое число полок, а на каждой полке стоит одинаковое количество книг (больше одной). Сколько полок на одном стеллаже, если количество книг на каждой полке в 3 раза меньше числа полок на стеллаже?

Задача в общем виде: - Пусть на каждом стеллаже S полок. - На каждой полке B книг. - Библиотека состоит из H залов, в каждом зале одинаковое число стеллажей R. - На каждой полке одинаковое число книг, и B = S/3 (дано: количество книг на полке в 3 раза меньше числа полок на стеллаже). Также B > 1, значит S > 3 и S кратно 3. - Всего книг 432, значит 432 = H · R · S · B. Решение шаг за шагом: 1) Подставим B = S/3: 432 = H · R · S · (S/3) = (H·R/3) · S^2. 2) Умножим обе стороны на 3: 1296 = (H · R) · S^2. Обозначим T = H · R (общее число стеллажей во всех залах). Тогда: T · S^2 = 1296. 3) Поскольку S > 3 и S кратно 3, подбираем such S, чтобы S^2 делило 1296. 1296 = 2^4 · 3^4. Поскольку S = 2^a · 3^b и S^2 делит 1296, требуются 2a ≤ 4 и 2b ≤ 4, то a ∈ {0,1,2}, b ∈ {0,1,2}, и S кратно 3, значит b ≥ 1. Возможные S (соответствуют S^2 | 1296 и S > 3): 6, 9, 12, 18, а также 36 (но при S = 36 получаем T = 1). 4) Рассчитаем T для этих S: - S = 6: S^2 = 36 ⇒ T = 1296 / 36 = 36. Значит H·R = 36 (например, 6 залов по 6 стеллажей, или любая комбинация, дающая произведение 36). - S = 9: S^2 = 81 ⇒ T = 1296 / 81 = 16. Значит H·R = 16. - S = 12: S^2 = 144 ⇒ T = 1296 / 144 = 9. Значит H·R = 9. - S = 18: S^2 = 324 ⇒ T = 1296 / 324 = 4. Значит H·R = 4. - S = 36: S^2 = 1296 ⇒ T = 1. Это означало бы, что во всей библиотеке только один стеллаж, что противоречит условию о наличии более чем одного зала/стеллажей (во всех залах одинаковое число стеллажей). Поэтому исключаем S = 36, если предполагаем, что залов как минимум несколько. 5) Итого, возможны следующие значения S (число полок на одном стеллаже): - S = 6, B = 2, H·R = 36 - S = 9, B = 3, H·R = 16 - S = 12, B = 4, H·R = 9 - S = 18, B = 6, H·R = 4 Ответ: На одном стеллаже может быть 6, 9, 12 или 18 полок. Это несколько допустимых вариантов, так как задача не даёт информации about число залов и число стеллажей в каждом зале (то есть о параметре H·R). Если же требуется выбрать одно значение, можно взять минимальное возможное S = 6 (при этом на каждой полке будет по 2 книги, и общее число стеллажей во всех залах составит 36).