в прямоугольнике авсд на сторонах вс и ад отмечены точки е и f так, что ве:ес=3:4, аf:fд=2:3. найдите отношение площадей четырехугольников авеf и дсеf.

Задача: в прямоугольнике ABCD на сторонах BC и AD отмечены точки E и F так, что BE:EC = 3:4 и AF:FD = 2:3. Найдите отношение площадей четырехугольников ABEF и CDEF (то есть ABEF и DCEF в вашем обозначении).

Решение

1. Введём координатную систему.

• Пусть A = (0, 0), B = (W, 0), C = (W, H), D = (0, H). Тогда площадь прямоугольника равна WH.

2. Определим координаты точек E и F.

• E лежит на BC, и BE:EC = 3:4, значит BE = (3/7) BC. Поскольку BC вертикальна и длина BC равна H, то E = (W, 3H/7).
• F лежит на AD, и AF:FD = 2:3, значит AF = (2/5) AD. Поскольку AD вертикальна и длина AD равна H, то F = (0, 2H/5).

3. Найдём площадь нижней части, то есть области ABEF.

• Линия EF соединяет F(0, 2H/5) и E(W, 3H/7). Площадь области под этой линией на отрезке x ∈ [0, W] равна площади трапеции, образованной высотами y_F и y_E на границах x = 0 и x = W: A(ABEF) = W · (y_F + y_E) / 2 = W · (2H/5 + 3H/7) / 2.
• Приведём к общему знаменателю: 2H/5 + 3H/7 = H(14/35 + 15/35) = 29H/35. Значит A(ABEF) = W · (29H/35) / 2 = WH · (29/70).

4. Найдём площадь верхней части, DCEF.

• Общая площадь прямоугольника равна WH, значит A(DCEF) = WH − A(ABEF) = WH − WH · (29/70) = WH · (41/70).

5. Отношение площадей.

• A(ABEF) : A(DCEF) = (WH · 29/70) : (WH · 41/70) = 29 : 41.

Ответ: 29 : 41.

Дополнительное замечание

• Полученное соотношение не зависит от ширины W прямоугольника; достаточно только указанных ratios BE:EC = 3:4 и AF:FD = 2:3. Можно заметить общую формулу: доля площади нижней части к общей равна среднему значению долей по двум сторонам: (BE/BC + AF/AD)/2. Подстановка BE/BC = 3/7 и AF/AD = 2/5 даёт 29/70, что и даёт итоговое отношение.