многоугольник

Многоугольник — плоская геометрическая фигура, ограниченная последовательностью отрезков (сторон), которые образуют замкнутую цепь. Обычно говорят о простом многоугольнике (без самопересечений), но бывает и самопересекающийся.

Ключевые понятия и факты

• Число сторон: n ≥ 3.
• Виды по форме:
  • Выпуклый: все диагонали лежат внутри.
  • Невыпуклый (вогнутый): у некоторых диагоналей часть лежит вне фигуры.
  • Правильный (регулярный): все стороны равны и все углы равны.
• Внутренняя сумма углов: (n − 2) · 180°.
• Внешние углы: сумма внешних углов равна 360°; каждый внешний угол равен 360°/n.
• Диагонали: количество диагоналей равно n(n − 3)/2.
• Периметр: P = сумма длин сторон.

Площадь

• Для произвольного многоугольника: можно разбить на треугольники или воспользоваться формулой Штейхельса (шулер): A = 1/2 · |Σ_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} − x_{i+1} y_i)|, где (x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1).
• Для выпуклого или простого многоугольника через разбиение на треугольники: сумма площадей треугольников.
• Для правильного (регулярного) многоугольника со стороной a: A = (n · a^2) / (4 · tan(π/n)) = (n/4) · a^2 · cot(π/n). Также можно через апофему r: A = (1/2) · P · r, где r — апофема, P — периметр.
• Через радиус описанной окружности R: A = (n/2) · R^2 · sin(2π/n).

Дополнительные полезные формулы

• Количество диагоналей: n(n − 3)/2.
• Угол в регулярном многоугольнике:
  • каждый внутренний угол: α = (n − 2) · 180° / n,
  • внешний угол: β = 360° / n.

Если хотите, могу привести примеры задач:

• найти площадь произвольного многоугольника по координатам вершин (практически метод Штейхеля),
• найти периметр и площадь регулярного многоугольника по данной стороне,
• найти количество диагоналей и сумму углов для заданного n.

Скажите, что именно вам нужно разобрать: определение, виды, формулы площади, задачи на координаты, задачи на диагонали или что-то другое? Также скажите уровень экзамена, чтобы подобрать примеры.