Вершину A параллелограмма ABCD соединили с серединами M и N сторон BC и CD . Какую часть площадь треугольника AMN составляет от площади параллелограмма ABCD ?

Задача: Вершину A параллелограмма ABCD соединили с серединами M и N сторон BC и CD. Какую часть площади параллелограмма ABCD составляет площадь треугольника AMN?

Пошаговое решение (общая формулировка, не зависят от конкретной формы параллелограмма):

• Пусть вектор AB = b, AD = d. Тогда C = B + D, то есть вектор CA = -(b + d). Площадь параллелограмма ABCD равна |det(b, d)|.

• Найдём координаты точек M и N:

  • M — середина BC. Так как C = B + D, то M = (B + C)/2 = (B + (B + D))/2 = B + D/2. Векторы относительно A: AM = b + d/2.
  • N — середина CD. Так как C = B + D и D = D, то N = (C + D)/2 = ((B + D) + D)/2 = B/2 + D. Векторы относительно A: AN = b/2 + d.

• Площадь треугольника AMN с вершиной в A равна S_AMN = (1/2) |det(AM, AN)| = (1/2) |det(b + d/2, b/2 + d)|.

• Используем линейность детерминанта: det(b + d/2, b/2 + d) = (δ) det(b, d), где δ = 1 - 1/4 = 3/4. То есть det(AM, AN) = (3/4) det(b, d).

• Следовательно, S_AMN = (1/2) * (3/4) * |det(b, d)| = (3/8) |det(b, d)|.

• Площадь параллелограмма ABCD равна S_ABCD = |det(b, d)|.

• Часть площади: S_AMN / S_ABCD = (3/8) |det(b, d)| / |det(b, d)| = 3/8.

Ответ: площадь треугольника AMN составляет 3/8 части площади параллелограмма ABCD. То есть S_AMN = 3/8 S_ABCD.