Вершины A и C выпуклого четырёхугольника ABCD соединили с серединами противолежащих сторон (рис. 3). Найдите площадь четырёхугольника AECF , если площадь ABCD равна 60 .

Задача: В выпуклом четырехугольнике ABCD вершины A и C соединили с серединами противолежащих сторон. Найдите площадь квадриугольника AECF, если площадь ABCD = 60.

Допущения (соответствуют условию рис. 3):

• E — середина стороны BC.
• F — середина стороны CD.
• Квадриугольник AECF состоит из вершин A, E, C, F в указанном порядке.

Шаги решения:

1. Разберем площади треугольников, входящих в ABCD. Диагональ AC делит ABCD на два треугольника: ABC и ACD, которые вместе образуют всю площадь ABCD. S(ABC) + S(ACD) = S(ABCD) = 60.

2. Найдем S(AEC) в треугольнике ABC. E — середина BC. В треугольнике ABC диагональ BC считается основанием. Площадь треугольника AEC связана с площадью ABC тем, что основание EC = BC/2, и высота от A к прямой BC одинакова для обоих треугольников AEC и ABC. Следовательно, S(AEC) = S(ABC) / 2.

3. Найдем S(AFC) в треугольнике ACD. F — середина CD. В треугольнике ACD основание CF = CD/2, высота от A к прямой CD та же. Следовательно, S(AFC) = S(ACD) / 2.

4. Площадь квадриугольника AECF состоит из двух неперекрывающихся треугольников AEC и AFC (они лежат по разные стороны диагонали AC). S(AECF) = S(AEC) + S(AFC) = S(ABC)/2 + S(ACD)/2 = (S(ABC) + S(ACD)) / 2 = S(ABCD) / 2.

5. Подставим данное значение площади ABCD. S(AECF) = 60 / 2 = 30.

Ответ: 30.