"Функция y=f(x) определена на промежутке (−10; 2). На рисунке изображен график ее производной. Найдите точку , в которой функция y=f(x) принимает наибольшее значение, если…

Классно, давай разберёмся по шагам и сравним с правильным решением.

Что известно из условия

• Дана график производной f'(x) на (-10, 2).
• По графику f' положителен на: (-10, -9] и [-5, -2], и отрицателен на [-9, -5] и [-2, 2).
• Значение дано: f(-4) = f(-9).
• Нужно найти точку, где y = f(x) достигает наибольшего значения.

Как понять решение

• По знаку f'(x) видно точки экстремума: там, где знак меняется с + на -.
  • В точках около -9 и -2 функция достигает локальных максимумов.
• Следовательно, потенциальные точки глобального максимума: x = -9 и x = -2.

Теперь по данному равенству f(-4) = f(-9)

• Так как (-5, -2] является участком, где f' > 0, функция на этом интервале возрастает. В частности, для любого x в (-5, -2], включая x = -4, имеем f(-4) < f(-2).
• Но по условию f(-4) = f(-9). Значит f(-9) = f(-4) < f(-2).

Отсюда наибольшее значение достигается в точке x = -2, а не в -9.

Почему мой ответ -9 неверен

• Потому что хотя в -9 и есть локальный максимум, глобальное максимальное значение на (-10, 2) достигается в -2, а не в -9, как следует из неравенства f(-9) = f(-4) < f(-2) (из-за возрастания на (-5, -2]).

Короткое резюме

• Правильный ответ: x = -2.
• Ваш ответ: -9 — неверный, поскольку из графика f' и условия f(-4) = f(-9) следует, что f(-2) больше, чем f(-9).

Оцените мой ответ лайком или дизлайком.