Выберите все верные утверждения: У монотонной функции производная всегда положительная. Если производная функции на промежутке меньше нуля, то функция убывает на этом промежутке.…

Верные утверждения: 2, 3 и 4.

Пояснения по пунктам:

1. У монотонной функции производная всегда положительная.

• Неверно. Монотонная функция может иметь участок, где производная равна нулю. Пример: f(x) = x^3 на любом промежутке. Её производная f'(x) = 3x^2, и в точке x = 0 она равна 0, хотя функция строго возрастает. Поэтому утверждение с «всегда положительная» неверно.

2. Если производная функции на промежутке меньше нуля, то функция убывает на этом промежутке.

• Верно. Пусть f' < 0 на интервале. Тогда для любых x < y на этом интервале по теореме среднего значения существует c ∈ (x, y) с f(y) − f(x) = f'(c)(y − x). Так как f'(c) < 0 и y − x > 0, получаем f(y) < f(x). Значит функция строго убывает.

3. Значение функции в точке максимума не может быть меньше значения функции в точке минимума.

• Верно. Если M — значение на точке максимума, m — значение на точке минимума, то для любой точки x выполняется m ≤ f(x) ≤ M. В частности, M ≥ m. Разумеется, возможна ситуация равенства (например, константная функция), но отрицания этой не бывает.

4. Функция может не иметь точек экстремума.

• Верно. Есть функции без максимумов и минимумов на всей своей области определения (например, f(x) = x на всей вещественной оси или f(x) = e^x; они не достигают глобальных экстремумов).