Итерационные методы представляют собой методы последовательных приближений. Процесс итераций должен быть построен таким образом, чтобы с ростом числа шагов, получаемые приближённые значения корней сходились к точному решению. Исходные данные, т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены, в практических задачах часто обладают неустранимой погрешностью. В этой связи важным достоинством итерационных методов является то, что можно заранее задать точность искомого решения. Главный же их недостаток - для каждого рекуррентного процесса необходимо исследование условий его сходимости. СЛАУ- Системой линейных алгебраических уравнений называется система вида, где каждое уравнение является линейным относительно неизвестных. В матричной форме она записывается как произведение матрицы коэффициентов на вектор неизвестных равно вектору правых частей. Точными называются методы, которые позволяют получить решение за конечное число арифметических операций. Примерами служат метод Гаусса, метод Крамера, метод обратной матрицы. Приближённые (итерационные) методы Итерационными называются методы, в которых строится бесконечная последовательность приближений, сходящаяся к точному решению. Вычисления прекращают, когда достигнута заданная точность. Итерационный процесс Итерационным процессом называется правило, по которому каждое следующее приближение вычисляется через предыдущее. Процесс записывается в виде формулы, где новое значение равно некоторому преобразованию старого значения. Начальное приближение Начальным приближением называется вектор, с которого начинается итерационный процесс. Чаще всего выбирают нулевой вектор, но иногда используют другие значения, если о решении есть дополнительная информация. Сходимость итерационного процесса Итерационный процесс называется сходящимся, если последовательность приближений стремится к точному решению при неограниченном увеличении числа шагов. Метод Якоби Методом Якоби называется итерационный метод, в котором каждое неизвестное на новом шаге вычисляется из соответствующего уравнения с использованием всех остальных неизвестных с предыдущего шага. Описание метода В методе Якоби из каждого уравнения выражается диагональное неизвестное. Для вычисления нового значения берутся все остальные неизвестные с предыдущей итерации. Таким образом, для перехода от одного приближения к следующему необходимо сохранять все значения предыдущего шага. Достаточное условие сходимости Метод Якоби сходится, если матрица системы обладает свойством диагонального преобладания. Это означает, что для каждой строки модуль диагонального элемента больше суммы модулей всех остальных элементов этой строки. Метод Гаусса–Зейделя Методом Гаусса–Зейделя называется итерационный метод, в котором каждое неизвестное на новом шаге вычисляется с использованием уже обновлённых значений предыдущих неизвестных на этом же шаге. Метод релаксации Методом релаксации называется итерационный метод, в котором вводится дополнительный параметр для ускорения сходимости. напиши кратко но отражая суть Вопросы для самопроверки Дайте определение итерационного метода решения систем линейных уравнений. Чем он отличается от точного метода? Сформулируйте достаточное условие сходимости итерационного процесса. Какую роль при этом играет норма матрицы перехода? В чём заключается основная идея метода Якоби? Как вычисляется новое приближение для неизвестного? В чём заключается основная идея метода Гаусса–Зейделя? Чем его вычислительная схема отличается от метода Якоби? Почему метод Гаусса–Зейделя обычно сходится быстрее метода Якоби? Какое преимущество по памяти он даёт? Что такое метод релаксации? Какую роль играет параметр релаксации и как его выбор влияет на сходимость? Сформулируйте условие диагонального преобладания. Почему это условие гарантирует сходимость методов Якоби и Гаусса–Зейделя? Назовите три основных критерия остановки итерационного процесса. В чём недостатки каждого из них? В каких случаях предпочтительнее использовать итерационные методы, а в каких — точные методы? Укажите основные критерии выбора.