Татарские пишется в середине предложения с большой буквы или маленькой

Коротко: в середине предложения слово татарские пишется с маленькой буквы — татарские.

Подробно по шагам:

• Шаг 1. Определите функцию слова: является ли оно обычным прилагательным, обозначающим национальность/происхождение, или частью названия собственного имени.
• Шаг 2. Если это обычное прилагательное перед существительным (например, язык, слова, культура и т.п.), пишем с маленькой буквы: татарские слова, татарский язык, татарская культура.
• Шаг 3. Исключение — начало предложения: если предложение начинается словом «Татарские…», первая буква будет заглавной.
• Шаг 4. Исключение для названий собственных имен и учреждений: если слово входит в название официального имени (например, названия учебных заведений, организаций, книг, разделов с заголовком и т. п.), тогда можно писать с большой буквы как часть названия: Татарский государственный университет, Татарская энциклопедия и т. п.

Примеры:

• В татарские слова входят заимствования из арабского и персидского языков. (мало букв)
• В начале предложения: Татарские слова встречаются в этом тексте. (первая буква — заглавная)
• Название: Татарский государственный университет выпускает новые программы. (часть названия — с заглавной)

Итого: в середине предложения пишем татарские (с маленькой буквы). Только если это начало предложения или часть названия собственного имени — тогда заглавная буква.